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Programme Lycée 1ereCours Enseignement scientifiqueSemaine 3 - Croissance linéaireFiche de révision : Semaine 3 - Croissance linéaireFiche de révision Semaine 3 - Croissance linéaire
Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.
👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :
Suites numériques
Définition
Définition
Une suite numérique u est une fonction définie sur $N$ qui associe à tout entier naturel $n$ un nombre réel noté $u(n)$.
Notation : $$u : n \mapsto u(n)$$
À retenir
- $u(n)$ est le terme de rang $n$.
- $u(0)$ est le premier terme si l’indexation commence à $0$.
- Une suite peut être vue comme une liste ordonnée infinie de nombres réels.
Suites arithmétiques
Définition
Définition
Une suite $u(n)$ est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Il existe un réel $r$ tel que : $$u(n+1) = u(n) + r$$ $r$ est appelé la raison.
Formule explicite
Propriété
Pour tout entier naturel $n$ : $$u(n) = u(0) + nr$$
À retenir
- $r$ est la variation constante.
- Permet de calculer directement n’importe quel terme.
Sens de variation
Propriété
- Si $r > 0$ → la suite est strictement croissante.
- Si $r < 0$ → la suite est strictement décroissante.
- Si $r = 0$ → la suite est constante.
Représentation graphique
À retenir
Les points de coordonnées $(n ; u(n))$ sont alignés.
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Fonctions affines
Définition
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur R par : $$f(x) = mx + p$$ où $m$ et $p$ sont des réels.
- $m$ : coefficient directeur
- $p$ : ordonnée à l’origine
Taux d’accroissement
Propriété
Pour tous réels distincts $a$ et $b$ : $$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ : $$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
À retenir
Le coefficient directeur est constant.
Sens de variation
Propriété
- Si $m > 0$ → fonction strictement croissante sur R.
- Si $m < 0$ → fonction strictement décroissante sur R.
- Si $m = 0$ → fonction constante.
Cas particuliers
À retenir
- Si $p = 0$ → fonction linéaire : $f(x) = mx$.
- Si $m = 0$ → fonction constante : $f(x) = p$.
Astuce
Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :
Lien suite arithmétique / fonction affine
Propriété
Soit une suite arithmétique définie par : $$u(n) = u(0) + nr$$ Alors : $$u(n) = f(n)$$ avec la fonction affine : $$f(x) = rx + u(0)$$
À retenir
- La raison $r$ correspond au coefficient directeur.
- $u(0)$ correspond à l’ordonnée à l’origine.
- Les points représentant la suite appartiennent à la droite représentative de la fonction affine.
Modélisation d’un phénomène linéaire
À retenir
Une suite modélise un phénomène discret à croissance linéaire (variation absolue constante).
Une fonction affine modélise un phénomène continu à croissance linéaire (taux d’accroissement constant).
🎯 À maîtriser pour le bac
- Reconnaître une suite arithmétique à partir de sa définition ou d’une formule.
- Déterminer la raison $r$ à partir de $u(n+1) - u(n)$.
- Utiliser la formule explicite $u(n) = u(0) + nr$.
- Étudier le sens de variation d’une suite selon le signe de $r$.
- Représenter une suite par les points $(n ; u(n))$.
- Déterminer l’expression d’une fonction affine $f(x) = mx + p$.
- Calculer un coefficient directeur avec $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Étudier le sens de variation d’une fonction selon le signe de $m$.
- Faire le lien entre suite arithmétique et fonction affine : $u(n) = f(n)$ avec $f(x) = rx + u(0)$.
- Modéliser un phénomène discret avec une suite arithmétique.
- Modéliser un phénomène continu avec une fonction affine.