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Programme Lycée Tle S Cours Mathématiques Algorithme d’Euclide : rechercher le PGCD de deux entiers naturels a et b - CasioAlgorithme : Algorithme d’Euclide : rechercher le PGCD de deux entiers naturels a et b - Casio
Algorithme d’Euclide : rechercher le PGCD de deux entiers naturels a et b - Casio
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Casio
L’algorithme d’Euclide repose sur le principe de la division euclidienne : soient deux entiers $a>b$, et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$, alors le PGCD de $a$ et $b$ est le même que le PGCD de $b$ et $r$. Ainsi, par divisions euclidiennes successives on arrive à déterminer le PGCD de deux entiers.
Programme
Le programme prend deux entiers $a>b$ et effectue la division de $a$ par $b$, de reste $r$, ensuite $a$ prend la valeur de $b$, et $b$ prend la valeur de $r$, la boucle est répétée tant que $r\not=0$. Alors la valeur de $b$ est le PGCD recherché.
Variables
$a$ et $b$ deux entiers entrés par l’utilisateur tels que $a>b$
$r$ un entier calculé par le programme
Algorithme
|demander $a$ et $b$
|$r=$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$
|tant que $r\not=0$
|$a$ prend la valeur de $b$
|$b$ prend la valeur de $r$
|$r=$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$
|afficher $b$
Programme Casio
| $\mathsf{?} \rightarrow \mathsf{A}:\mathsf{?} \rightarrow \mathsf{B}$
$\mathsf{A}- \mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B}) \times \mathsf{B} \rightarrow \mathsf{R}$ ↵ $\mathsf{While}\ \mathsf{R}\not= 0$↵ $\mathsf{B}\rightarrow \mathsf{A} : \mathsf{R}\rightarrow \mathsf{B}$↵ $\mathsf{A}- \mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B}) \times \mathsf{B} \rightarrow \mathsf{R}$ ↵ $\mathsf{WhileEnd}$ $\mathsf{B}\blacktriangleleft$ |
- « ? » « A »
« ▷ » « : »
« ? » « B » « ↵ » - « A »
« ▷ » « NUM » « Int »
« A » « B »
« B » « R » « ↵ » - « COM » « ▷ » « ▷ » « While » « R » « ▷ » « REL » « ≠ » « ↵ »
- « B » « A »
« ▷ » « : »
« R » « B » « ↵ » - « A »
« ▷ » « NUM » « Int »
« A » « B »
« B » « R » « ↵ » - « COM » « ▷ » « ▷ » « WhileEnd »
« ↵ » - « B » « ◄ »
Remarque
Décortiquons l’instruction $\mathsf{A}- \mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B}) \times \mathsf{B} \rightarrow \mathsf{R}$ sur un exemple.
Prenons $\mathsf{A}=14$ et $\mathsf{B}=5$ alors :
- $\mathsf{A}\div \mathsf{B}=2,8$
- donc $\mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B})=2$
- donc $\mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B}) \times \mathsf{B}=10$
- ainsi $\mathsf{A}- \mathsf{Int}\ (\mathsf{A}\div \mathsf{B}) \times \mathsf{B}=14-10=4$, c’est le reste ($\mathsf{R}$) de la division euclidienne de $14$ par $5$.
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