Division euclidienne et congruence - Mathématiques

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Division euclidienne et congruence

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Introduction

La congruence sur les entiers est une relation pouvant unir deux entiers. Elle fut étudiée au XIX^e siècle et constitue un des fondements de l’arithmétique.

Description

La division euclidienne

Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}$ , il existe un unique couple $(q;r)$ avec $q \in \mathbb{N}$ et $r \in \mathbb{Z}$ , tel que :

$a=b\times q+r$ avec $0 \le r \le b$

L’opération qui associe $(q;r)$ à $(a;b)$ est appelée division euclidienne de ${a}$ par $b$ ,

$a$ s’appelle le dividende,
$q$ le quotient,

$b$ le diviseur,
$r$ le reste.

Exemple

La division euclidienne de $29$ par $5$ est : $29=5 \times 5 +4$
La division euclidienne de $-14$ par $6$ est : $-14=6 \times (-3)+4$

Congruence

Soient $n\in \mathbb{N}$ , $n\ge 2$ et $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ .
Deux entiers $a$ et $b$ sont dits congrus modulo $n$ si, et seulement si, les divisions euclidiennes de $a$ et $b$ par $n$ donnent des restes égaux.
On note alors : $a \equiv b [n]$

Exemple

$\begin{array}{rcl}29 &\equiv& 4 [5] \ -14 &\equiv& 4[6] \end{array}$