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La fonction exponentielle
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Introduction

Une grande partie des phénomènes physiques sont modélisés avec des équations différentielles (équation contenant à la fois une fonction et sa dérivée). Pour les résoudre, il a donc été nécessaire de construire une fonction qui est égale à sa dérivée : la fonction exponentielle.

Description

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Rappel

Il existe une unique fonction ff dérivable sur R\mathbb{R} telle que : f=ff'=f et f(0)=1f(0)=1

Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note exp(x)exp(x).

Du fait de son comportement assimilable à celui des puissances, la fonction exp(x)exp(x) est souvent notée exe^x, pour tout réel aa et bb, pour nn un entier relatif, et pour uu une fonction dérivable sur un intervalle II.

Notation en exp(x)exp(x) Notation en exe^x
Opérations exp(a+b)=exp(a)×exp(b)exp(a+b) = exp(a) \times exp(b) ea+b=ea×ebe^{a+b} = e^a\times e^b
exp(a)=1exp(a)exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)} ea=1eae^{-a}=\dfrac{1}{e^a}
exp(ab)=exp(a)exp(b)exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)} eab=eaebe^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}
exp(n×a)=[exp(a)]nexp(n\times a) = [exp(a)]^n en×a=(ea)ne^{n \times a} = {(e^a)}^n
Dérivée [exp(u)]=u×exp(u)[exp(u)]' = u' \times exp(u) (eu)=u×eu(e^{u})' = u' \times e^u
[exp(a×x+b)]=a×exp(a×x+b)[exp(a \times x +b)]' = a \times exp (a \times x +b) (eax+b)=a×eax+b(e^{a x +b})' = a \times e^{a x +b}

Comme exe^x est continue, strictement croissante sur R\mathbb{R}, pour aa, bRb \in \mathbb{R} nous avons les équivalences suivantes :

ea=1a=0ea>1a>0ea=eba=bea<eba<b\begin{array}{lll} e^a=1 \Leftrightarrow a=0 & & e^a > 1 \Leftrightarrow a > 0 \ e^a=e^b \Leftrightarrow a=b & & e^a < e^b \Leftrightarrow a < b \end{array}