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Les grands opérateurs
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Bien rédiger

Introduction

Les grand opérateurs tels que \prod ou \sum ont pour objectif de simplifier l’écriture d’expressions mathématiques dans lesquelles la même opération est effectuée un grand nombre de fois.

Description

La somme \sum

L’opérateur \sum permet d’abréger la notation d’une somme de nn termes d’une suite.

Notation : Soient mm et nn deux entiers naturels tels que m<nm et (un)(u_n) une suite, alors :

k=mk=nuk=um+um+1+um+2+...+un1+un\displaystyle\sum{k=m}^{k=n} uk=um+u{m+1}+u{m+2}+ …+ u{n-1}+u_n

Remarque : La variable kk est muette, elle n’influence pas le résultat de l’opération et peut être remplacée par n’importe quelle autre variable du moment qu’elle est remplacée partout.

bannière exemple

Exemple

  • Somme des NN premiers entiers :
    k=1k=1k=1+2+3++(N1)+N=N(N+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}k=1+2+3+⋯+(N-1)+N=\dfrac{N(N+1)}{2}
  • Somme des puissances d’un entier pp non-nul :
    k=1k=1pk=p1+p2+...+pN1+pN=1pN1p\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}p^k=p^1+p^2+…+p^{N-1}+p^N=\frac{1-p^N}{1-p}

Le produit \prod

Notation : Soient mm et nn deux entiers naturels tels que m<nm et (un)(un ) une suite, alors : k=mk=nuk=um×um+1×um+2××un1×un\displaystyle\prod{k=m}^{k=n}uk=um\times u{m+1}\times u{m+2}\times …\times u{n-1}\times un

La factorielle d’un entier naturel nn, symbolisée par l’utilisation de !! est donnée par : n!=k=1k=nk=1×2××(n1)×nn!=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}k=1\times 2\times …\times (n-1) \times n

Grands opérateurs sur les ensembles \bigcup et \bigcap

Les opérateurs \bigcup et \bigcap permettent d’abréger la notation d’ensemble lorsque ceux-ci sont le résultat de l’union/intersection de nn intervalles dont les bornes sont définis par des suites.

Notations : Soient mm et nn deux entiers naturels tels que m<nm et (un)(un) et (vn)(vn) deux suites telles que pour tout nN,(un)<(vn)n\in N,(un )<(vn ).
Soit (In)(In) une suite d’intervalle dans R\mathbb{R} telle que pour tout nN,In=[un;vn]n\in N,In=[un;vn], alors : k=mk=nIk=[um;vm][um+1;vm+1][un1;vn1][un;vn]\displaystyle\bigcup{k=m}^{k=n}Ik= [um;vm]\cup[u{m+1};v{m+1} ]\cup…\cup[u{n-1};v{n-1}]\cup[un;vn]

k=mk=nIk=[um;vm][um+1;vm+1][un1;vn1][un;vn]\displaystyle\bigcap{k=m}^{k=n}Ik= [um;vm ]\cap[u{m+1};v{m+1} ]\cap…\cap[u{n-1};v{n-1}]\cap[un;vn]

bannière exemple

Exemple

  • Si un=nun=n et vn=n+1vn=n+1 alors In=[n;n+1]In=[n ; n+1]
    k=mk=nIk=[m;m+1][m+1;m+2][n1;n][n;n+1]=[m;n+1]\displaystyle\bigcup
    {k=m}^{k=n}I_k= [m ; m+1]\cup[m+1 ; m+2]\cup…\cup[n-1 ; n]\cup[n ; n+1]=[m ;n+1]
  • Si un=1nun=-\dfrac1n et vn=nvn=n alors In=[1n;n]In=\left[-\dfrac1n; n\right]
    k=1k=nIk=[1;1][12;2][13;3][1n1;n1][1n;n]=[1n;1]\displaystyle\bigcap
    {k=1}^{k=n}I_k= [-1; 1]\cap\left[-\frac12 ; 2\right]\cap\left[-\frac13; 3\right]\cap…\cap\left[-\frac{1}{n-1} ; n-1\right]\cap\left[-\frac1n ; n\right]=\left[-\frac1n ;1\right]