Les grands opérateurs

La somme $\sum$

L’opérateur $\sum$ permet d’abréger la notation d’une somme de $n$ termes d’une suite.

Notation : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m$ et $(u_n)$ une suite, alors :

$\displaystyle\sum${k=m}^{k=n} uk=um+u{m+1}+u{m+2}+ …+ u{n-1}+u_n

Remarque : La variable $k$ est muette, elle n’influence pas le résultat de l’opération et peut être remplacée par n’importe quelle autre variable du moment qu’elle est remplacée partout.

Exemple

• Somme des $N$ premiers entiers :
  $\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}k=1+2+3+⋯+(N-1)+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$
• Somme des puissances d’un entier $p$ non-nul :
  $\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}p^k=p^1+p^2+…+p^{N-1}+p^N=\frac{1-p^N}{1-p}$

Le produit $\prod$

Notation : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m$ et $(u$n )(un​) une suite, alors : $\displaystyle\prod${k=m}^{k=n}uk=um\times u{m+1}\times u{m+2}\times …\times u{n-1}\times un

La factorielle d’un entier naturel $n$, symbolisée par l’utilisation de $!$ est donnée par : $n!=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}k=1\times 2\times …\times (n-1) \times n$

Grands opérateurs sur les ensembles $\bigcup$ et $\bigcap$

Les opérateurs $\bigcup$ et $\bigcap$ permettent d’abréger la notation d’ensemble lorsque ceux-ci sont le résultat de l’union/intersection de $n$ intervalles dont les bornes sont définis par des suites.

Notations : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m$ et $(u$n)(un​) et $(v$n) deux suites telles que pour tout $n\in N,(u$n )<(vn ).
Soit $(I$n)(In​) une suite d’intervalle dans $\mathbb{R}$ telle que pour tout $n\in N,I$n=[un;vn], alors : $\displaystyle\bigcup${k=m}^{k=n}Ik= [um;vm]\cup[u{m+1};v{m+1} ]\cup…\cup[u{n-1};v{n-1}]\cup[un;vn]

$\displaystyle\bigcap${k=m}^{k=n}Ik= [um;vm ]\cap[u{m+1};v{m+1} ]\cap…\cap[u{n-1};v{n-1}]\cap[un;vn]

Exemple

• Si $u$n=nun​=n et $v$n=n+1 alors $I$n=[n ; n+1]In​=[n;n+1]
  $\displaystyle\bigcup${k=m}^{k=n}I_k= [m ; m+1]\cup[m+1 ; m+2]\cup…\cup[n-1 ; n]\cup[n ; n+1]=[m ;n+1]
• Si $u$n=-\dfrac1nun​=−n1​ et $v$n=n alors $I$n=\left[-\dfrac1n; n\right]In​=[−n1​;n]
  $\displaystyle\bigcap${k=1}^{k=n}I_k= [-1; 1]\cap\left[-\frac12 ; 2\right]\cap\left[-\frac13; 3\right]\cap…\cap\left[-\frac{1}{n-1} ; n-1\right]\cap\left[-\frac1n ; n\right]=\left[-\frac1n ;1\right]