Les intégrales
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Les intégrales sont des outils mathématiques permettant de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction, cependant leur utilisation nécessite d’utiliser des notations particulières.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
On définit :
Borne supérieure
de l’intégrale Primitive de $\color{#CCCCCC}f$
$\begin{array}{l} \ \ \ \color{#abe6ff}\downarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{#CCCCCC}\downarrow \\
\int^{\colorbox{#abe6ff}{b}}_{\colorbox{#ffb495}{a}} f(x) \times dx=\left[\colorbox{#CCCCCC}{F}(x)\right]^b_a=F(b)-F(a) \\
\ \ \ \color{#ffb495}\uparrow
\end{array}$
Borne inférieure
de l’intégrale
Cette expression se lit : « l’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est égale à la valeur de la primitive de $f$ en $b$ moins sa valeur en $a$ : $F(b)=-F(a)$ ».
Remarques :
- Il est important de bien positionner les bornes de l’intégrale sur le symbole $\int$ avec la borne supérieure en haut et la borne inférieure en bas, autrement le signe de l’intégrale changera.
- Dans l’expression de l’intégrale, la variable $x$ est muette, il est donc possible de la remplacer par une autre lettre. Généralement $t$ et $x$ sont les variables utilisées.
- L’élément $dx$ est la différentielle, c’est une longueur très petite qui, multipliée par $f(x)$, permet d’avoir une aire, la somme pour toutes les valeurs de $x$ donne alors la valeur de l’aire sous la courbe.