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Marianne

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Savoir calculer la taille d’un échantillon
Savoir-faire

Pré-requis

Précision d’une estimation et taille de l’échantillon

Un intervalle de confiance au niveau 95 % est d’amplitude 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}} donc,
plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’intervalle de confiance obtenu est précis.

Si l’on souhaite situer pp dans un intervalle de longueur donnée aa, alors on doit avoir 2na\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq a ce qui équivaut à n4a2n \geq \dfrac{4}{a^2}.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer la précision d’une estimation et la taille d’un échantillon.

À l’occasion d’une élection, on réalise un sondage sur un échantillon de nn personnes afin de connaître le pourcentage d’électeurs qui souhaitent voter pour un candidat donné. On suppose la population suffisamment importante pour que ce sondage soit assimilé à un tirage avec remise.

Le but est de trouver la taille minimale de l’échantillon afin que l’intervalle de confiance de cette proportion donne celle-ci à 1 % près avec une probabilité au moins égale à 0,95 %.

Etapes

Déterminer l’amplitude de l’intervalle de de confiance

On sait que l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau 95 % est 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}} Un intervalle centré en pp fournit pp à la précision xx si son amplitude est 2x2x. Pour avoir une précision à 1 % près, soit à 0,010,01 près, on doit avoir un intervalle de confiance d’amplitude 0,020,02.

Rechercher nn

2n0,02n20,02n100n10000\begin{aligned}&\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,02 \ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq\dfrac{2}{0,02} \ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 100\ &\Leftrightarrow n \geq 10 \,000\end{aligned}

  • On doit donc interroger au moins 1000010 000 personnes.