Savoir-faire : Savoir calculer la taille d’un échantillon

Précision d’une estimation et taille de l’échantillon

Un intervalle de confiance au niveau 95 % est d’amplitude $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ donc,
plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’intervalle de confiance obtenu est précis.

Si l’on souhaite situer $p$ dans un intervalle de longueur donnée $a$, alors on doit avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq a$ ce qui équivaut à $n \geq \dfrac{4}{a^2}$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment calculer la précision d’une estimation et la taille d’un échantillon.

À l’occasion d’une élection, on réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes afin de connaître le pourcentage d’électeurs qui souhaitent voter pour un candidat donné. On suppose la population suffisamment importante pour que ce sondage soit assimilé à un tirage avec remise.

Le but est de trouver la taille minimale de l’échantillon afin que l’intervalle de confiance de cette proportion donne celle-ci à 1 % près avec une probabilité au moins égale à 0,95 %.

Déterminer l’amplitude de l’intervalle de de confiance

On sait que l’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau 95 % est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ Un intervalle centré en $p$ fournit $p$ à la précision $x$ si son amplitude est $2x$. Pour avoir une précision à 1 % près, soit à $0,01$ près, on doit avoir un intervalle de confiance d’amplitude $0,02$.

Rechercher $n$

$\begin{aligned}&\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,02 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq\dfrac{2}{0,02} \\ &\Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 100\\ &\Leftrightarrow n \geq 10 \,000\end{aligned}$

• On doit donc interroger au moins $10 000$ personnes.