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Marianne

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Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace
Savoir-faire

Pré-requis

Soient u\vec u et v\vec v deux vecteurs de l’espace, le produit scalaire de u\vec u par v\vec v est :

uv=uvcos(u,v)=12(u2+v2uv2)\vec u \cdot \vec v=\Vert \vec u \Vert \Vert\vec v \Vert \cos(\vec u,\vec v )=\dfrac 12\left(\Vert \vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u-\vec v \Vert^2\right)

Dans un repère orthonormé de l’espace, soient u(x,y,z)u(x,y,z) et v(x,y,z)v(x',y',z'), alors uv=xx+yy+zz\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'.

Soient A(0;0;0)A(0; 0; 0), B(1;0;0)B(1; 0; 0) et C(1;1;,1)C(1; 1; ,1) nous allons calculer le produit scalaire ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Etapes

Calculer les coordonnées des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}

AB=(xBxAyByAzBzA)=(100)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 \end{array}\right)

AC=(xCxAyCyAzCzA)=(111)\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c} xC-xA \ yC-yA \ zC-zA \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 \end{array}\right) Calculer le produit scalaire ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

ABAC=1×1+0×1+0×1=1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=1\times1+0\times1+0\times1=1