Savoir-faire Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de l’espace, le produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$ est :

$\vec u \cdot \vec v=\Vert \vec u \Vert \Vert\vec v \Vert \cos(\vec u,\vec v )=\dfrac 12\left(\Vert \vec u\Vert^2+\Vert\vec v\Vert^2-\Vert\vec u-\vec v \Vert^2\right)$

Dans un repère orthonormé de l’espace, soient $u(x,y,z)$ et $v(x',y',z')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

Soient $A(0; 0; 0)$, $B(1; 0; 0)$ et $C(1; 1; ,1)$ nous allons calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$

$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c} x_C-x_A \\ y_C-y_A \\ z_C-z_A \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=1\times1+0\times1+0\times1=1$