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Savoir calculer une intégrale continue et positive

Savoir calculer une intégrale continue et positive
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Pré-requis

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b][a;b].

Si ff est une primitive de la fonction ff alors ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)

Nous allons calculer l’intégrale suivante : ∫13(4x2+3x)dx\int_1^3(4x^2+3x)dx

Etapes

Déterminer la positivité de l’intégrale sur l’intervalle [1;3]

La fonction f:x→4x2+3xf:x→4x^2+3x est positive sur l"intervalle [1;3][1 ;3] donc son intégrale sera positive également.

Calcul de la primitive FF

Soit FF une primitive de ff on a alors  F(x)=43x3+32x2 F(x)={4\over 3} x^3+{3\over 2} x^2 Application de la propriété

∫13(4x2+3x)dx=F(3)−F(1)=(43×33+32×32)−(43×13+32×12)=(36+272)−(43+32)=36+272−43−32=2166+816−86−96=2806=1403u.a\begin{aligned}∫_1^3(4x^2+3x)dx&=F(3)-F(1)\&=({4\over 3}×3^3+{3\over 2}×3^2)-({4\over 3}×1^3+{3\over 2}×1^2) \&=(36+{27\over 2})-({4\over 3}+{3\over 2}) \&=36+{27\over 2}-{4\over 3}-{3\over 2} \&={216\over 6}+{81\over 6}-{8\over 6}-{9\over 6} \&={280\over 6} \&={140\over 3}u.a\end{aligned}