Savoir-faire Savoir calculer une intégrale continue et positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.

Si $f$ est une primitive de la fonction $f$ alors $∫_a^b f(x) dx=F(b)-F(a)$

Nous allons calculer l’intégrale suivante : $\int_1^3(4x^2+3x)dx$

Déterminer la positivité de l’intégrale sur l’intervalle [1;3]

La fonction $f:x→4x^2+3x$ est positive sur l"intervalle $[1 ;3]$ donc son intégrale sera positive également.

Calcul de la primitive $F$

Soit $F$ une primitive de $f$ on a alors  $ F(x)={4\over 3} x^3+{3\over 2} x^2$

Application de la propriété

$\begin{aligned}∫_1^3(4x^2+3x)dx&=F(3)-F(1)\\&=({4\over 3}×3^3+{3\over 2}×3^2)-({4\over 3}×1^3+{3\over 2}×1^2) \\&=(36+{27\over 2})-({4\over 3}+{3\over 2}) \\&=36+{27\over 2}-{4\over 3}-{3\over 2} \\&={216\over 6}+{81\over 6}-{8\over 6}-{9\over 6} \\&={280\over 6} \\&={140\over 3}u.a\end{aligned}$