Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Savoir calculer une intégrale en utilisant la propriété de linéarité
Savoir-faire

Pré-requis

Propriété de linéarité :

I+J=01ex(ex+2)dx+012(ex+2)dx=01(ex+2)(ex+2)dx=011dx=G(1)G(0)\begin{aligned}I+J&=∫0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫0^1 {2\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}

Nous allons déterminer l’intégrale de la fonction f(x)=ex(ex+2)f(x)={e^x\over (e^x+2)}
Nous allons calculer dans un premier temps II puis I+JI+J pour en déduire JJ.

Etapes

Calculer II

Soit f(x)=ex(ex+2)f(x)={e^x\over (e^x+2)}, ff est de la forme uu u'\over u donc une intégration primitive FF de ff sera de la forme ln(u)ln (u).

Par conséquent : I=01ex(ex+2)dx=F(1)F(0)I=\int_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx=F(1)-F(0) avec F(x)=ln(ex+2)F(x)=ln (e^x+2)

I=ln(e1+2)ln(e0+2)=ln(e+2)ln3I=ln (e^1+2)-ln (e^0+2) =ln (e+2)-ln 3 car e0=1e^0=1

Calculer I+JI+J

D’après la propriété de linéarité :

I+J=01ex(ex+2)dx+012(ex+2)dx=01(ex+2)(ex+2)dx=011dx=G(1)G(0)\begin{aligned}I+J&=∫0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫0^1 {2\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\&=∫0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}

Avec G(x)=xG(x)=x En déduire JJ

On en déduit :

J=(I+J)I=1[ln(e+2)ln3]=1ln(e+2)+ln3\begin{aligned}J&=(I+J)-I\&=1-[ln (e+2) -ln 3]\&=1-ln (e+2) +ln 3\end{aligned}