Savoir-faire Savoir calculer une intégrale en utilisant la propriété de linéarité

Propriété de linéarité :

$\begin{aligned}I+J&=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫_0^1 {2\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}$

Nous allons déterminer l’intégrale de la fonction $f(x)={e^x\over (e^x+2)}$
Nous allons calculer dans un premier temps $I$ puis $I+J$ pour en déduire $J$.

Calculer $I$

Soit $f(x)={e^x\over (e^x+2)}$, $f$ est de la forme $ u'\over u$ donc une intégration primitive $F$ de $f$ sera de la forme $ln (u)$.

Par conséquent : $I=\int_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx=F(1)-F(0)$ avec $F(x)=ln (e^x+2)$

$I=ln (e^1+2)-ln (e^0+2) =ln (e+2)-ln 3$ car $e^0=1$

Calculer $I+J$

D’après la propriété de linéarité :

$\begin{aligned}I+J&=∫_0^1 {e^x\over (e^x+2)} dx+∫_0^1 {2\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 {(e^x+2)\over (e^x+2)} dx\\&=∫_0^1 1 dx=G(1)-G(0)\end{aligned}$

Avec $G(x)=x$

En déduire $J$

On en déduit :

$\begin{aligned}J&=(I+J)-I\\&=1-[ln (e+2) -ln 3]\\&=1-ln (e+2) +ln 3\end{aligned}$