Savoir calculer une probabilité définie par une densité

On appelle fonction densité sur l’intervalle $I$ toute fonction $f$ définie et continue sur $I$ telle que $\int_{I}^{} f(x) \, dx=1$.

Soit $X$ une variable aléatoire continue sur l’intervalle $I$ définie par la fonction densité $f$, pour tout intervalle $[a;b]$ inclus dans $I$, nous avons $p(a<X<b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$.

Vérifier que $f$ définit une fonction densité sur $[0 ;1]$

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=2x$.

• $f$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$.
• $\int_0^1f(x)dx=\int_0^12x\ dx=[x^2]_0^1=1^2-0^2=1$, $f$ définit bien une loi de densité sur l’intervalle $[0;1]$.

Soit $X$ une variable aléatoire définie par la fonction densité $f$, calculer la probabilité $p(0,2 < X < 0,7)$

$\int_{0,2}^{0,7}f(x)dx=\int_{0,2}^{0,7} 2x\ dx=[x^2]_{0,2}^{0,7}=(0,7)^2-(0,2)^2=0,49-0,04=0,45$