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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir calculer une probabilité définie par une densité
Savoir-faire

Pré-requis

On appelle fonction densité sur l’intervalle II toute fonction ff définie et continue sur II telle que If(x)dx=1\int_{I}^{} f(x) \, dx=1.

Soit XX une variable aléatoire continue sur l’intervalle II définie par la fonction densité ff, pour tout intervalle [a;b][a;b] inclus dans II, nous avons p(a<X<b)=abf(x)dxp(a.

Etapes

Vérifier que ff définit une fonction densité sur [0;1][0 ;1]

Soit la fonction ff définie sur [0;1][0;1] par f(x)=2xf(x)=2x.

  • ff est continue sur l’intervalle [0;1][0;1].
  • 01f(x)dx=012x dx=[x2]01=1202=1\int0^1f(x)dx=\int0^12x\ dx=[x^2]_0^1=1^2-0^2=1, ff définit bien une loi de densité sur l’intervalle [0;1][0;1].

Soit XX une variable aléatoire définie par la fonction densité ff, calculer la probabilité p(0,2<X<0,7)p(0,2 < X < 0,7)

0,20,7f(x)dx=0,20,72x dx=[x2]0,20,7=(0,7)2(0,2)2=0,490,04=0,45\int{0,2}^{0,7}f(x)dx=\int{0,2}^{0,7} 2x\ dx=[x^2]_{0,2}^{0,7}=(0,7)^2-(0,2)^2=0,49-0,04=0,45