Savoir construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles

Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités

$p(C)=0,02\:$ avec $\:p(\bar {C})=1-p(C)=1-0,02=0,98$

$p$C (T)=0,99\:pC​(T)=0,99 avec $\: p$C (\bar{T})=1-0,99=0,01

$p${\bar{C}}(\bar {T})=0,97pCˉ​(Tˉ)=0,97 avec $p${\bar {C}}(T)=1-0,97=0,03

Représenter un arbre pondéré

Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

• Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
• Règle n°2 : Sur les branches du 2 e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
• Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
• Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement

On cherche la probabilité que le test soit positif, c’est-à-dire $P(T)$ : On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à $T$, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :

$\begin{aligned}p(T)&=p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) \& =p(C) \times p$C (T) + p{\bar{C}} \times p_{\bar {C}} (T)\&=0,02 \times 0,99+0,98 \times 0,03 \ &=0,0492\end{aligned}