Pré-requis
Probabilité conditionnelle de sachant :
Soit et deux événements de l’ensemble avec de probabilité non nulle . La probabilité conditionnelle de sachant (probabilité que l’événement soit réalisé sachant que l’événement est réalisé) est le nombre noté défini par :
Grâce à cette définition, on peut calculer de deux façons différentes :
À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles
« Dans un pays, 2% de la population est contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :
La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,99.
La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97.
On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ? »
On considère les événements :
: la personne est contaminée
: le test est positif
Etapes
Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités
avec
avec
avec
Représenter un arbre pondéré
Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :
- Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
- Règle n°2 : Sur les branches du 2 e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
- Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
- Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement
On cherche la probabilité que le test soit positif, c’est-à-dire : On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à , il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :