Savoir construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles - Maths

Aller au menu
Aller au contenu

Médaille

N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Savoir construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles

Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.

Savoir-faire

Pré-requis

Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ :

Soit $A$ et $B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)≠0)$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ (probabilité que l’événement $B$ soit réalisé sachant que l’événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :

$p_A(B)=\dfrac{p(B\cap A)}{p(A)}$

Grâce à cette définition, on peut calculer $p(A\cap B)$ de deux façons différentes : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$ $\:(\text{avec} \ p(A)≠0)$

$p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$ $\:(\text {avec} \ p(B)≠0)$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles

« Dans un pays, 2% de la population est contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes : La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,99. La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97. On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ? »
On considère les événements :
$C$ : la personne est contaminée
$T$ : le test est positif

Etapes

Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités

$p(C)=0,02\:$ avec $\:p(\bar {C})=1-p(C)=1-0,02=0,98$

$p$ avec $\: p$ C (\bar{T})=1-0,99=0,01 $p_{C} (\overset{ˉ}{T}) = 1 - 0, 99 = 0, 01$

$p$ avec $p$ {\bar {C}}(T)=1-0,97=0,03 $p_{\overset{ˉ}{C}} (T) = 1 - 0, 97 = 0, 03$

Représenter un arbre pondéré

Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
Règle n°2 : Sur les branches du 2 e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Alt texte

Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement

On cherche la probabilité que le test soit positif, c’est-à-dire $P(T)$ : On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à $T$ , il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :

$\begin{aligned}p(T)&=p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) \& =p(C) \times p$