Savoir-faire : Savoir construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ :

Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)≠0)$. La probabilité conditionnelle de $ B$ sachant $A$ (probabilité que l’événement $ B$ soit réalisé sachant que l’événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :

$p_A(B)=\dfrac{p(B\cap A)}{p(A)}$

Grâce à cette définition, on peut calculer $p(A\cap B)$ de deux façons différentes : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$ $:(\text{avec} \ p(A)≠0)$

$p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$ $:(\text {avec} \ p(B)≠0)$

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment construire et exploiter un arbre pondéré pour calculer des probabilités conditionnelles

« Dans un pays, 2% de la population est contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes : La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,99. La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97. On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ? »
On considère les événements :
$C $: la personne est contaminée
$T$ : le test est positif

Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités

$p(C)=0,02:$ avec $:p(\bar {C})=1-p(C)=1-0,02=0,98$

$p_C (T)=0,99:$ avec $: p_C (\bar{T})=1-0,99=0,01$

$p_{\bar{C}}(\bar {T})=0,97$ avec $p_{\bar {C}}(T)=1-0,97=0,03$

Représenter un arbre pondéré

Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

• Règle n°1 : Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
• Règle n°2 : Sur les branches du 2 e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
• Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
• Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Exploiter l’arbre pour calculer la probabilité d’un événement

On cherche la probabilité que le test soit positif, c’est-à-dire $P(T)$ : On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à $T$, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :

$\begin{aligned}p(T)&=p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) \\& =p(C) \times p_C (T) + p_{\bar{C}} \times p_{\bar {C}} (T)\\&=0,02 \times 0,99+0,98 \times 0,03 \\ &=0,0492\end{aligned}$