Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaison

Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions vérifiant sur l’intervalle $[a; +\infty[$ : $f(x)≥g(x)$

• Si $\lim\limits_{x \to \infty} { {g(x)} }= +\infty$ alors $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= +\infty$
• Si $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$ alors $\lim\limits_{x \to \infty} { {g(x)} }= -\infty$

Prenons $f(x)=\cos(x)-x$ et $g(x)=1-x$

Montrer que $f$ est majorée par $g$.

Calculer $f(x)-g(x)$ et montrer qu’il existe un réel naturel $b≥a$ tel que pour tout $x≥b$, $f(x)-g(x) ≤0$.

$f(x)-g(x)=\cos(x)-x-(1-x)=\cos(x)-x-1+x=\cos(x)-1$

Or, pour tout réel $x$, $\cos(x)≤1$, donc $\cos(x)-1≤0$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $(x)-g(x) ≤0$.

Montrer que $\lim\limits_{x \to \infty} g(x)=-\infty$

$\lim\limits_{x \to \infty} g(x)=\lim\limits_{x \to \infty}(1-x)=-\infty$

Conclure sur la limite de la fonction $f$ : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$

Par comparaison nous avons : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$