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Programme Lycée Tle S Cours Mathématiques Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaisonSavoir-faire : Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaison
Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaison
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Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions vérifiant sur l’intervalle $[a; +\infty[$ : $f(x)≥g(x)$
- Si $\lim\limits_{x \to \infty} { {g(x)} }= +\infty$ alors $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= +\infty$
- Si $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$ alors $\lim\limits_{x \to \infty} { {g(x)} }= -\infty$
Prenons $f(x)=\cos(x)-x$ et $g(x)=1-x$
Montrer que $f$ est majorée par $g$.
Calculer $f(x)-g(x)$ et montrer qu’il existe un réel naturel $b≥a$ tel que pour tout $x≥b$, $f(x)-g(x) ≤0$.
$f(x)-g(x)=\cos(x)-x-(1-x)=\cos(x)-x-1+x=\cos(x)-1$
Or, pour tout réel $x$, $\cos(x)≤1$, donc $\cos(x)-1≤0$.
Ainsi, pour tout réel $x$, $(x)-g(x) ≤0$.
Montrer que $\lim\limits_{x \to \infty} g(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x \to \infty} g(x)=\lim\limits_{x \to \infty}(1-x)=-\infty$
Conclure sur la limite de la fonction $f$ : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$
Par comparaison nous avons : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$