Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaison
Savoir-faire

Pré-requis

Soient aa un réel, ff et gg deux fonctions vérifiant sur l’intervalle [a;+[[a; +\infty[ : f(x)g(x)f(x)≥g(x)

  • Si lim{x}g(x)=+\lim\limits{x \to \infty} { {g(x)} }= +\infty alors lim{x}f(x)=+\lim\limits{x \to \infty} { {f(x)} }= +\infty
  • Si lim{x}f(x)=\lim\limits{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty alors lim{x}g(x)=\lim\limits{x \to \infty} { {g(x)} }= -\infty

Prenons f(x)=cos(x)xf(x)=\cos(x)-x et g(x)=1xg(x)=1-x

Etapes

Montrer que ff est majorée par gg.

Calculer f(x)g(x)f(x)-g(x) et montrer qu’il existe un réel naturel bab≥a tel que pour tout xbx≥b, f(x)g(x)0f(x)-g(x) ≤0.

f(x)g(x)=cos(x)x(1x)=cos(x)x1+x=cos(x)1f(x)-g(x)=\cos(x)-x-(1-x)=\cos(x)-x-1+x=\cos(x)-1

Or, pour tout réel xx, cos(x)1\cos(x)≤1, donc cos(x)10\cos(x)-1≤0.

Ainsi, pour tout réel xx, (x)g(x)0(x)-g(x) ≤0.

Montrer que \lim\limits_{x \to \infty} g(x)=-\infty

\lim\limits{x \to \infty} g(x)=\lim\limits{x \to \infty}(1-x)=-\infty Conclure sur la limite de la fonction ff : lim{x}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty

Par comparaison nous avons : lim{x}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty