Savoir déterminer la limite d’une fonction par comparaison

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Savoir-faire

Pré-requis

Soient $a$ un réel, $f$ et $g$ deux fonctions vérifiant sur l’intervalle $[a; +\infty[$ : $f(x)≥g(x)$

Si $\lim\limits$ alors $\lim\limits$ {x \to \infty} { {f(x)} }= +\infty ${lim x \to \infty} f (x) = + \infty$
Si $\lim\limits$ alors $\lim\limits$ {x \to \infty} { {g(x)} }= -\infty ${lim x \to \infty} g (x) = - \infty$

Prenons $f(x)=\cos(x)-x$ et $g(x)=1-x$

Etapes

Montrer que $f$ est majorée par $g$ .

Calculer $f(x)-g(x)$ et montrer qu’il existe un réel naturel $b≥a$ tel que pour tout $x≥b$ , $f(x)-g(x) ≤0$ .

$f(x)-g(x)=\cos(x)-x-(1-x)=\cos(x)-x-1+x=\cos(x)-1$

Or, pour tout réel $x$ , $\cos(x)≤1$ , donc $\cos(x)-1≤0$ .

Ainsi, pour tout réel $x$ , $(x)-g(x) ≤0$ .

Montrer que $\lim\limits_{x \to \infty} g(x)=-\infty$

$\lim\limits{x \to \infty} g(x)=\lim\limits{x \to \infty}(1-x)=-\infty$ Conclure sur la limite de la fonction $f$ : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$

Par comparaison nous avons : $\lim\limits_{x \to \infty} { {f(x)} }= -\infty$