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Programme Lycée Tle S Cours Mathématiques Savoir déterminer la limite d’une suite par comparaisonSavoir-faire : Savoir déterminer la limite d’une suite par comparaison
Savoir déterminer la limite d’une suite par comparaison
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Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites.
S’il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n≥N$ :
- $u_n≤v_n$ et $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n\to \infty} v_n=+\infty$
- $u_n≤v_n$ et $\lim\limits_{n \to \infty} u_n=-\infty$ alors $\lim\limits_{n\to \infty}v_n=-\infty$
Soient $u_n=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n}$ et $v_n=n$
Montrer que $u_n$ est minorée par $v_n$.
Calculer $u_n -v_n$ et montrer qu’il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n≥N$, $u_n -v_n≥0$.
On a $u_n -v_n=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n}-n = \sqrt{\dfrac 1n+3n}$
Or, une racine carrée est toujours positive donc $\sqrt{\dfrac 1n+3n}≥0$
Donc pour tout entier naturel $n$, $u_n-v_n≥0$.
Montrer que $\lim\limits_{n \to \infty} v_n = + \infty$.
$v_n=n$ donc $\lim\limits_{n \to \infty} v_n = + \infty$
Conclure sur la limite de la suite $u_n$ : $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$.
Par comparaison nous avons : $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$