Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Savoir déterminer la limite d’une suite par comparaison
Savoir-faire

Pré-requis

Soient unun et vnvn deux suites.

S’il existe un entier naturel NN tel que pour tout nNn≥N :

  • unvnun≤vn et limnun=+\lim\limits{n \to \infty}un=+\infty alors limnvn=+\lim\limits{n\to \infty} vn=+\infty
  • unvnun≤vn et limnun=\lim\limits{n \to \infty} un=-\infty alors limnvn=\lim\limits{n\to \infty}vn=-\infty

Soient un=n+1n+3nun=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n} et vn=nvn=n

Etapes

Montrer que unun est minorée par vnvn.

Calculer unvnun -vn et montrer qu’il existe un entier naturel NN tel que pour tout nNn≥N, unvn0un -vn≥0.

On a unvn=n+1n+3nn=1n+3nun -vn=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n}-n = \sqrt{\dfrac 1n+3n}

Or, une racine carrée est toujours positive donc 1n+3n0\sqrt{\dfrac 1n+3n}≥0

Donc pour tout entier naturel nn, unvn0un-vn≥0. Montrer que limnvn=+\lim\limits{n \to \infty} vn = + \infty.

vn=nvn=n donc limnvn=+\lim\limits{n \to \infty} v_n = + \infty

Conclure sur la limite de la suite unun : limnun=+\lim\limits{n \to \infty}u_n=+\infty.

Par comparaison nous avons : limnun=+\lim\limits{n \to \infty}un=+\infty