Savoir déterminer la limite d’une suite par comparaison

Soient $u_n$ et $v_n$ deux suites.

S’il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n≥N$ :

• $u_n≤v_n$ et $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n\to \infty} v_n=+\infty$
• $u_n≤v_n$ et $\lim\limits_{n \to \infty} u_n=-\infty$ alors $\lim\limits_{n\to \infty}v_n=-\infty$

Soient $u_n=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n}$ et $v_n=n$

Montrer que $u_n$ est minorée par $v_n$.

Calculer $u_n -v_n$ et montrer qu’il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n≥N$, $u_n -v_n≥0$.

On a $u_n -v_n=n+\sqrt{\dfrac 1n+3n}-n = \sqrt{\dfrac 1n+3n}$

Or, une racine carrée est toujours positive donc $\sqrt{\dfrac 1n+3n}≥0$

Donc pour tout entier naturel $n$, $u_n-v_n≥0$.

Montrer que $\lim\limits_{n \to \infty} v_n = + \infty$.

$v_n=n$ donc $\lim\limits_{n \to \infty} v_n = + \infty$

Conclure sur la limite de la suite $u_n$ : $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$.

Par comparaison nous avons : $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=+\infty$