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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points
Savoir-faire

Pré-requis

Soient A(xA,yA,zA)A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB)B(xB,yB,zB) deux points de l’espace :

  • le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées : AB=(xBxAyByAzBzA)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{array}\right) ;
  • le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées : I(xB+xA2,yB+yA2,zB+zA2)I\left(\dfrac{xB+xA}{2},\dfrac{yB+yA}{2},\dfrac{zB+zA}{2}\right) ;
  • la longueur ABAB est : AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2AB=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA )^2 }.

Soient A(3,5,2)A(3,5,-2) et B(2,6,5)B(2,6,5).

Etapes

Calculer les coordonnées du vecteur AB\overrightarrow{AB}

AB=(xBxAyByAzBzA)=(23655(2))=(117)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2-3 \ 6-5 \ 5-(-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \ 1 \ 7 \end{array}\right) Calculer les coordonnées du milieu II du segment [AB][AB]

I(xB+xA2,yB+yA2,zB+zA2) I(2+32,6+52,5+(2)2) I(52,112,32)\begin{array}{ll} &I\left(\dfrac{xB+xA}{2},\dfrac{yB+yA}{2},\dfrac{zB+zA}{2}\right) \ \ \ \Leftrightarrow &I\left(\dfrac{2+3}{2},\dfrac{6+5}{2},\dfrac{5+(-2)}{2}\right) \ \ \ \Leftrightarrow&I\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{11}{2},\dfrac{3}{2}\right) \end{array} Calculer la longueur ABAB

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2 =(23)2+(65)2+(5(2))2 =(1)2+(1)2+(7)2 =1+1+49=51\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA )^2} \ \ \ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2+(5-(-2))^2 } \ \ \ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(7)^2} \ \ \ &=\sqrt{1+1+49}=\sqrt{51}\end{array}