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Savoir-faire

Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points

Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points
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Savoir-faire

Pré-requis

Soient A(xA,yA,zA)A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB)B(xB,yB,zB) deux points de l’espace :

  • le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées : AB→=(xB−xAyB−yAzB−zA)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{array}\right) ;
  • le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées : I(xB+xA2,yB+yA2,zB+zA2)I\left(\dfrac{xB+xA}{2},\dfrac{yB+yA}{2},\dfrac{zB+zA}{2}\right) ;
  • la longueur ABAB est : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA )^2 }.

Soient A(3,5,−2)A(3,5,-2) et B(2,6,5)B(2,6,5).

Etapes

Calculer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}

AB→=(xB−xAyB−yAzB−zA)=(2−36−55−(−2))=(−117)\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2-3 \ 6-5 \ 5-(-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \ 1 \ 7 \end{array}\right) Calculer les coordonnées du milieu II du segment [AB][AB]

I(xB+xA2,yB+yA2,zB+zA2) ⇔I(2+32,6+52,5+(−2)2) ⇔I(52,112,32)\begin{array}{ll} &I\left(\dfrac{xB+xA}{2},\dfrac{yB+yA}{2},\dfrac{zB+zA}{2}\right) \ \ \ \Leftrightarrow &I\left(\dfrac{2+3}{2},\dfrac{6+5}{2},\dfrac{5+(-2)}{2}\right) \ \ \ \Leftrightarrow&I\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{11}{2},\dfrac{3}{2}\right) \end{array} Calculer la longueur ABAB

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2 =(2−3)2+(6−5)2+(5−(−2))2 =(−1)2+(1)2+(7)2 =1+1+49=51\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA )^2} \ \ \ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2+(5-(-2))^2 } \ \ \ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(7)^2} \ \ \ &=\sqrt{1+1+49}=\sqrt{51}\end{array}