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Programme Lycée Tle S Cours Mathématiques Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux pointsSavoir-faire : Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points
Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points
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Soient $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ deux points de l’espace :
- le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)$ ;
- le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $I\left(\dfrac{x_B+x_A}{2},\dfrac{y_B+y_A}{2},\dfrac{z_B+z_A}{2}\right)$ ;
- la longueur $AB$ est : $AB=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A )^2 }$.
Soient $A(3,5,-2)$ et $B(2,6,5)$.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2-3 \\ 6-5 \\ 5-(-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right) $
Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$
$\begin{array}{ll} &I\left(\dfrac{x_B+x_A}{2},\dfrac{y_B+y_A}{2},\dfrac{z_B+z_A}{2}\right) \\ \ \\ \Leftrightarrow &I\left(\dfrac{2+3}{2},\dfrac{6+5}{2},\dfrac{5+(-2)}{2}\right) \\ \ \\ \Leftrightarrow&I\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{11}{2},\dfrac{3}{2}\right) \end{array}$
Calculer la longueur $AB$
$\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A )^2} \\ \ \\ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2+(5-(-2))^2 } \\ \ \\ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(7)^2} \\ \ \\ &=\sqrt{1+1+49}=\sqrt{51}\end{array}$