Savoir-faire Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur, les coordonnées de son milieu et la distance entre deux points

Soient $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$ deux points de l’espace :

• le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)$ ;
• le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $I\left(\dfrac{x_B+x_A}{2},\dfrac{y_B+y_A}{2},\dfrac{z_B+z_A}{2}\right)$ ;
• la longueur $AB$ est : $AB=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A )^2 }$.

Soient $A(3,5,-2)$ et $B(2,6,5)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2-3 \\ 6-5 \\ 5-(-2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 7 \end{array}\right) $

Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$

$\begin{array}{ll} &I\left(\dfrac{x_B+x_A}{2},\dfrac{y_B+y_A}{2},\dfrac{z_B+z_A}{2}\right) \\ \ \\ \Leftrightarrow &I\left(\dfrac{2+3}{2},\dfrac{6+5}{2},\dfrac{5+(-2)}{2}\right) \\ \ \\ \Leftrightarrow&I\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{11}{2},\dfrac{3}{2}\right) \end{array}$

Calculer la longueur $AB$

$\begin{array}{ll}AB&=\sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A )^2} \\ \ \\ &=\sqrt{(2-3)^2+(6-5)^2+(5-(-2))^2 } \\ \ \\ &=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(7)^2} \\ \ \\ &=\sqrt{1+1+49}=\sqrt{51}\end{array}$