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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir déterminer si un vecteur est normal à un plan
Savoir-faire

Pré-requis

  • Calculer les coordonnées d’un vecteur 
    Soient A(XA;YA;ZA)A (XA ; YA ; ZA) et B(XB;YB;ZB)B(XB; YB; ZB) deux points du plan.
    Le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées A(XAXB;YAYB;ZAZB)A (XA - XB; YA - YB; ZA - ZB).

  • Calculer les produits scalaires dans l’espace
    uv=xx+yy+zz\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = xx' + yy'+ zz' .

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer si un vecteur est normal à un plan.
On considère dans le repère orthonormé (O;i;j;k)(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k})
les points A(1;1;3)A(1;1;3), B(3;1;1)B(-3;1;1) et C(1;0;1)C(-1;0;1).
On souhaite montrer que le vecteur n(1;2;2)\overrightarrow {n}(1;2;-2) est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).

Etapes

Rappel définition

Un vecteur N\overrightarrow N non nul est normal à un plan PP si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de PP.

Calculer les coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)(ABC)
Par exemple AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC}

AB(31;11;13)=AB(4;0;2)\overrightarrow {AB}(-3-1;1-1;1-3)=\overrightarrow {AB}(-4;0;-2)
AC(11;01;13)=AC(2;1;2)\overrightarrow {AC}(-1-1;0-1;1-3)=\overrightarrow {AC}(-2;-1;-2)

Calculer le produit scalaire pour vérifier que n\overrightarrow{n} est bien orthogonal à AB\overrightarrow{AB} et à AC\overrightarrow{AC}

nAB=(122)(402)=1×(4)+2×0+(2)×(2)=4+4=0\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -4 \ 0\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-4)+2\times 0+(-2)\times (-2) \&=-4+4 \ &=0\end{aligned}

  • n\overrightarrow {n} est donc orthogonal à AB\overrightarrow {AB}.

nAC=(122)(212)=1×(2)+2×(1)+(2)×(2)=22+4=0\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -2 \ -1\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-2)+2\times (-1)+(-2)\times (-2)\ &=-2-2+4\ &=0\end{aligned}

  • n\overrightarrow {n} est donc orthogonal à AC\overrightarrow {AC}.

Conclusion

Puisque n\overrightarrow {n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)(ABC) alors n\overrightarrow {n} est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).