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Savoir déterminer si un vecteur est normal à un plan
Savoir-faire

Pré-requis

  • Calculer les coordonnées d’un vecteur 
    Soient $A (X_A ; Y_A ; Z_A)$ et $B(X_B; Y_B; Z_B)$ deux points du plan.
    Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $A (X_A - X_B; Y_A - Y_B; Z_A - Z_B)$.

  • Calculer les produits scalaires dans l’espace
    $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = xx' + yy'+ zz' $.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer si un vecteur est normal à un plan.
On considère dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k})$
les points $A(1;1;3)$, $B(-3;1;1)$ et $C(-1;0;1)$.
On souhaite montrer que le vecteur $\overrightarrow {n}(1;2;-2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Etapes

Rappel définition

Un vecteur $\overrightarrow N$ non nul est normal à un plan $P$ si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$.

Calculer les coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$
Par exemple $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AB}(-3-1;1-1;1-3)=\overrightarrow {AB}(-4;0;-2)$
$\overrightarrow {AC}(-1-1;0-1;1-3)=\overrightarrow {AC}(-2;-1;-2)$

Calculer le produit scalaire pour vérifier que $\overrightarrow{n}$ est bien orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$

$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \\ 2\\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -4 \\ 0\\ -2 \end{array} \right)\\ &=1\times (-4)+2\times 0+(-2)\times (-2) \\&=-4+4 \\ &=0\end{aligned}$

  • $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AB}$.

$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \\ 2\\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -2 \\ -1\\ -2 \end{array} \right)\\ &=1\times (-2)+2\times (-1)+(-2)\times (-2)\\ &=-2-2+4\\ &=0\end{aligned}$

  • $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AC}$.

Conclusion

Puisque $\overrightarrow {n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ alors $\overrightarrow {n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.