Savoir déterminer si un vecteur est normal à un plan

Rappel définition

Un vecteur $\overrightarrow N$ non nul est normal à un plan $P$ si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$.

Calculer les coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$
Par exemple $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$

$\overrightarrow {AB}(-3-1;1-1;1-3)=\overrightarrow {AB}(-4;0;-2)$
$\overrightarrow {AC}(-1-1;0-1;1-3)=\overrightarrow {AC}(-2;-1;-2)$

Calculer le produit scalaire pour vérifier que $\overrightarrow{n}$ est bien orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$

$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -4 \ 0\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-4)+2\times 0+(-2)\times (-2) \&=-4+4 \ &=0\end{aligned}$

• $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AB}$.

$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -2 \ -1\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-2)+2\times (-1)+(-2)\times (-2)\ &=-2-2+4\ &=0\end{aligned}$

• $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AC}$.

Conclusion

Puisque $\overrightarrow {n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ alors $\overrightarrow {n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.