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Marianne

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Savoir déterminer un intervalle de confiance
Savoir-faire

Pré-requis

Intervalle de confiance :

XnXnest une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n,p)B(n,p) et Fn=Xnn.Fn = \dfrac{X_n}{n}.

Pour une valeur de pp fixée dans [0 ;1]\left[0\ ;1 \right], l’intervalle aléatoire [Fn1n ;Fn+1n]\left[Fn - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;Fn + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] contient,
pour nn assez grand, la proportion pp avec une probabilité supérieure ou égale à 0,950,95.

Définition de l’intervalle de confiance :
Soit pp la proportion inconnue d’un caractère dans une population.

On réalise l’expérience aléatoire de nn tirages au hasard et on appelle ff la fréquence observée d’apparition du caractère.

L’intervalle [f1n ;f+1n]\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] est appelé intervalle de confiance de la proportion inconnue pp au niveau de confiance 0,950,95.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer un intervalle de confiance.

On dispose d’une urne contenant un très grand nombre de boules rouges et bleues. On ignore quelle est la proportion pp de boules rouges dans l’urne et rien ne permet de faire une hypothèse sur la valeur de pp.

On procède donc à une estimation de pp en réalisant un tirage de 100100 boules. Lors de ce tirage, on obtient 5959 boules rouges et 4141 bleues.

Etapes

Calculer la fréquence d’apparition du rouge

f=59100=0,59f = \dfrac{59}{100} = 0,59.

Rechercher l’intervalle de confiance

I=[f1n;f+1n]=[0,591100;0,59+1100]=[0,49 ;0,69]\begin{aligned} I &= \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \ &= \left[0,59 - \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,59 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] \ &= \left[ 0,49\ ;0,69 \right]\end{aligned}

[0,49 ;0,69] \left[ 0,49\ ;0,69 \right] est donc un intervalle de confiance à 0,950,95 de la proportion de boules rouges dans l’urne.

  • Ceci signifie qu’il y a 95 % de chances pour que la proportion de boules rouges dans l’urne appartienne à cet intervalle.