Savoir-faire : Savoir déterminer un intervalle de confiance

Intervalle de confiance :

$X_n$est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(n,p)$ et $F_n = \dfrac{X_n}{n}.$

Pour une valeur de $p$ fixée dans $\left[0\ ;1 \right]$, l’intervalle aléatoire $\left[F_n - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;F_n + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient,
pour $n$ assez grand, la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $0,95$.

Définition de l’intervalle de confiance :
Soit $p$ la proportion inconnue d’un caractère dans une population.

On réalise l’expérience aléatoire de $n$ tirages au hasard et on appelle $f$ la fréquence observée d’apparition du caractère.

L’intervalle $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est appelé intervalle de confiance de la proportion inconnue $p$ au niveau de confiance $0,95$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer un intervalle de confiance.

On dispose d’une urne contenant un très grand nombre de boules rouges et bleues. On ignore quelle est la proportion $p$ de boules rouges dans l’urne et rien ne permet de faire une hypothèse sur la valeur de $p$.

On procède donc à une estimation de $p$ en réalisant un tirage de $100$ boules. Lors de ce tirage, on obtient $59$ boules rouges et $41$ bleues.

Calculer la fréquence d’apparition du rouge

$f = \dfrac{59}{100} = 0,59$.

Rechercher l’intervalle de confiance

$\begin{aligned} I &= \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \\ &= \left[0,59 - \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,59 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] \\ &= \left[ 0,49\ ;0,69 \right]\end{aligned}$

$ \left[ 0,49\ ;0,69 \right]$ est donc un intervalle de confiance à $0,95$ de la proportion de boules rouges dans l’urne.

• Ceci signifie qu’il y a 95 % de chances pour que la proportion de boules rouges dans l’urne appartienne à cet intervalle.