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Marianne

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Savoir déterminer une équation cartésienne de plan
Savoir-faire

Pré-requis

Équation cartésienne d’un plan 
Un plan de vecteur normal n(a;b;c)\overrightarrow {n}(a;b;c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0dd désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
Reciproquement, si aa, bb, cc et dd sont quatre nombres réels donnés avec aa, bb et cc non tous nuls, l’ensemble des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal n(a;b;c)\overrightarrow {n}(a;b;c).

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne d’un plan.

On considère dans le repère orthonormé (O;i;j;k)(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k})
les points A(1;1;3)A(1;1;3), B(3;1;1)B(-3;1;1) et C(1;0;1)C(-1;0;1).
On sait que le vecteur n(1;2;2)\overrightarrow {n}(1;2;-2) est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).
Déterminons une équation cartésienne de ce plan.

Etapes

Déterminer a,b,ca, b, c

D’après les coordonnées du vecteur normal, a=1;a=1; b=2b=2 et c=2c=-2 donc une équation est : 1x+2y2z+d=01x+2y-2z+d=0 Déterminer dd en exploitant les coordonnées d’un point appartenant au plan (ABC)(ABC)

Or A(ABC)A∈(ABC) donc :

1×xA+2×yA2×zA+d=01×1+2×12×3+d=01+26+d=03+d=0d=3\begin{aligned}1×xA+2×yA-2×z_A+d=0 \ \Leftrightarrow 1×1+2×1-2×3+d=0 \ \Leftrightarrow 1+2-6+d=0 \ \Leftrightarrow -3+d=0 \ \Leftrightarrow d=3\end{aligned} Conclusion

Une équation cartésienne de (ABC)(ABC) est donc : x+2y2z+3=0x+2y-2z+3=0.