Savoir-faire : Savoir déterminer une équation cartésienne de plan

Équation cartésienne d’un plan 
Un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}(a;b;c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ où $d$ désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
Reciproquement, si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels donnés avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls, l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}(a;b;c)$.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment déterminer une équation cartésienne d’un plan.

On considère dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k})$
les points $A(1;1;3)$, $B(-3;1;1)$ et $C(-1;0;1)$.
On sait que le vecteur $\overrightarrow {n}(1;2;-2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Déterminons une équation cartésienne de ce plan.

Déterminer $a, b, c$

D’après les coordonnées du vecteur normal, $a=1;$ $b=2$ et $c=-2$ donc une équation est : $1x+2y-2z+d=0$

Déterminer $d$ en exploitant les coordonnées d’un point appartenant au plan $(ABC)$

Or $A∈(ABC)$ donc :

$\begin{aligned}1×x_A+2×y_A-2×z_A+d=0 \\ \Leftrightarrow 1×1+2×1-2×3+d=0 \\ \Leftrightarrow 1+2-6+d=0 \\ \Leftrightarrow -3+d=0 \\ \Leftrightarrow d=3\end{aligned}$

Conclusion

Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $x+2y-2z+3=0$.