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Marianne

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Savoir étudier la dérivabilité d'une fonction
Savoir-faire

Pré-requis

La définition d’une fonction dérivable  :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II contenant aa.

  • f(a+h)f(a)h\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} est le taux d’accroissement entre aa et hh.

Dire que ff est dérivable en aa de nombre dérivé f(a)f'(a), c’est dire que :

  • lim{h0}f(a+h)f(a)h=f(a)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)

f(a)f'(a) étant un réel.

A l’aide d’un exemple nous allons montrer comment étudier la dérivabilité d’une fonction.

Soit ff la fonction définie sur l’intervalle R\mathbb {R} par f(x)=x3f(x)=x^3 et a=1a=1.
Cherchons si la fonction ff est dérivable en aa.

Etapes

Calculer le taux d’accroissement entre 11 et 1+h1+h

f(1+h)f(1)h=(1+h)313h=(1+2h+h2)(1+h)1h=1+2h+h2+h+2h2+h31h=h3+3h2+3hh=h2+3h+3\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \ &=h^2+3h+3\end{aligned}

Calculer la limite de ce taux quand hh tend vers 00

lim{h0}(h2+3h+3)=3\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3

Étudier le résultat

  • Si cette limite est un nombre réel, on dit que ff est dérivable en aa.
  • Si cette limite est infinie, on dit que ff n’est pas dérivable en aa.

33 est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. ff est dérivable en 11 et f(1)=3f'(1)=3