Savoir-faire : Savoir étudier la dérivabilité d'une fonction

La définition d’une fonction dérivable  :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.

• $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ est le taux d’accroissement entre $a$ et $h$.

Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, c’est dire que :

• $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$

$f'(a)$ étant un réel.

A l’aide d’un exemple nous allons montrer comment étudier la dérivabilité d’une fonction.

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^3$ et $a=1$.
Cherchons si la fonction $f$ est dérivable en $a$.

Calculer le taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$

$\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \\ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \\ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \\ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \\ &=h^2+3h+3\end{aligned}$

Calculer la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$

$\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3$

Étudier le résultat

• Si cette limite est un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$.
• Si cette limite est infinie, on dit que $f$ n’est pas dérivable en $a$.

$3$ est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=3$