Savoir-faire
Savoir étudier la fonction cosinus
Prérequis
- La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
- La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $$\text{cos'}(x) = -\text{sin} (x)$$
Etapes
La dérivée de la fonction cosinus
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{cos'}(x) = \text{- sin}(x)$
Étude du signe de la dérivée
Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ : $\text{sin} (x )\geq 0$ donc $\text{-sin} (x )\leq 0$.
La fonction sinus est donc décroissante sur $[0\ ; \pi ]$.
Tableau de variation de la fonction cosinus
On en déduit donc le tableau de variations de la fonction cosinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ :
