Savoir-faire
Savoir étudier la fonction sinus
Prérequis
- La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
- La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ on a : $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$
Etapes
La dérivée de la fonction sinus
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; \pi ]$ on sait que $\text{sin'}(x)=\text{cos}(x)$
Étude du signe de la dérivée
Or, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ; {\pi \over 2} ]$ : $\text{cos} (x )\geq 0$
- La fonction sinus est donc croissante sur $[0\ ; {\pi \over 2} ]$
Et pour tout réel $x$ de l’intervalle $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$ : $\text{cos} (x )\leq 0$
- La fonction sinus est donc décroissante sur $[ {\pi \over 2}\ ; \pi ]$
Tableau de variation de la fonction sinus
On en déduit donc le tableau de variations de la fonction sinus ainsi que sa courbe représentative sur $[0\ ; \pi ]$ :
