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Marianne

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Savoir étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(u)
Savoir-faire

Pré-requis

Dérivabilité de ln(u)\ln{(u)} :

Dans cette partie, on appelle uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

ln(u)\ln{(u)} n’est définie que lorsque uu est strictement positive.

La propriété suivante donne la formule permettant de calculer la dérivée d’une fonction de la forme ln(u)\ln{(u)} :

ln(u)=uu\ln'{(u)}=\dfrac{u'}{u}

A l’aide d’un exemple nous allons montrer comment étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(u)\ln{(u)}

Étude de la fonction f:xln(2x+6)f:x\to \ln{(2x+6)} sur I=]3;+[I=\rbrack -3 ;+\infty\lbrack

Etapes

Calcul de la dérivée ff

f(x)=(2x+6)2x+6=22x+6=1x+3f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}

Etudier le signe de la dérivée 

Le numérateur étant toujours positif, on résout l’inéquation suivante :

f(x)0<=>x+30<=>x3f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3, donc ff' est positive sur I=]3 ;+[I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack.

Lien avec les variations de la fonction

Pour faire le lien avec les variations de la fonction, on sait que lorsque la dérivée est négative alors la fonction est décroissante et lorsque la dérivée est positive alors la fonction est croissante.

ff est donc croissante sur II.

Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que le calcul des éventuels extremums

  • En x=3x=-3 : limx>3x3(2x+6)=0\lim\limits{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}(2x+6)=0 , or limx>0x0ln(x)=\lim\limits{\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty
  • Par composition, on a donc : limx>3x3f(x)=\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty
  • En +:+\infty : limx+(2x+6)=+\lim\limits{x \to +\infty}(2x+6)=+\infty or limx+ln(x)=+\lim\limits{x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty
  • Par composition, on a ainsi : limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

On peut donc construire le tableau de variations de f:f:

tableau de variations fonction logarithme mathématiques terminale ES L