Savoir étudier une fonction comportant un logarithme népérien de la forme ln(u)

Calcul de la dérivée $f$

$f'(x)=\dfrac{(2x+6)'}{2x+6}=\dfrac{2}{2x+6}=\dfrac{1}{x+3}$

Etudier le signe de la dérivée 

Le numérateur étant toujours positif, on résout l’inéquation suivante :

$f'(x)\geq0<=>x+3\geq0<=>x\geq-3$, donc $f'$ est positive sur $I=\rbrack -3\ ;+\infty\lbrack$.

Lien avec les variations de la fonction

Pour faire le lien avec les variations de la fonction, on sait que lorsque la dérivée est négative alors la fonction est décroissante et lorsque la dérivée est positive alors la fonction est croissante.

$f$ est donc croissante sur $I$.

Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que le calcul des éventuels extremums

• En $x=-3$ : $\lim\limits${\stackrel{x \to -3}{x>-3}}(2x+6)=0x>−3x→−3​lim​(2x+6)=0 , or $\lim\limits${\stackrel{x \to 0}{x>0}}\ln{(x)}=-\infty
• Par composition, on a donc : $\lim\limits_{\stackrel{x \to -3}{x>-3}}f(x)=-\infty$
• En $+\infty :$ $\lim\limits${x \to +\infty}(2x+6)=+\inftyx→+∞lim​(2x+6)=+∞ or $\lim\limits${x \to +\infty}\ln{(x)}=+\infty
• Par composition, on a ainsi : $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

On peut donc construire le tableau de variations de $f:$