Médaille
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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir étudier une fonction exponentielle de la forme exp(u)
Savoir-faire

Pré-requis

  • Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II de R\mathbb{R}, la fonction eue^{u} est dérivable sur II et sa dérivée est u×euu' \times e^{u}.
  • La fonction eue^{u} a le même sens de variation que la fonction (car c’est la composée de cette fonction uu avec la fonction exponentielle qui est croissante).

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex2+xf(x) =e^{ x^{2} +x}. Étudions ses variations.

Etapes

Calcul de la dérivée

Pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+1)×e(x2+x)f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)} Étude du signe de la dérivée

  • Sur ];12],2x+10]-\infty; -\dfrac {1}{2}],\:\: 2x+1 \leq 0 donc f(x)0f'(x) \leq 0 donc ff est décroissante.
  • Sur [12,+[,2x+10[-\dfrac {1}{2},+\infty [, \:\:2x+1 \geq 0 donc f(x)0f'(x) \geq 0 donc ff est croissante.((liste2)) Tableau de variations

Calcul des limites

  • limxf(x)=+\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty
  • limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty