Médaille
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Savoir montrer qu’une équation f(x)=0 admet une unique solution dans R
Savoir-faire

Pré-requis

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b][a; b] alors, pour tout réel k compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a;b][a; b].

Soit la fonction ff définie sur RR par : f(x)=2x33x21f(x)=2x^3-3x^2-1.
Démontrons que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans R\mathbb{R}.

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Etapes

Étude des variations de la fonction f pour voir si elle est bien strictement monotone

  • Calcul de la dérivée de ff :
    f(x)=2×3x23×2x=6x26x=6x(x1)f(x)=2 \times 3x^2-3\times 2x=6x^2-6x=6x(x-1)
  • Afin de dresser le tableau de signe et de variation, on doit savoir pour quelle(s) valeur(s) de xx la dérivée s’annule :

6x=0x=06x = 0 \Leftrightarrow x = 0 et x1=0x=1x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1

  • Tableau de signe et de variations :

  • Calcul des extremums

f(0)=2×033×021=1f(0)=2 \times 0^3-3\times 0^2-1=1

f(1)=2×133×121=2f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=2

limf(x)x=limxx3(23x1x3)=\lim\limits{\stackrel {x \to -\infty}{f(x)}}=\lim\limits{x \to -\infty} x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty

limf(x)x+=limx+x3(23x1x3)=\lim\limits{\stackrel {x \to +\infty}{f(x)}}=\lim\limits{x \to +\infty} x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty Vérification que l’équation f(x)=0f(x)=0 n’admet qu’une seule solution

Il apparaît dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle ];1]] -\infty ; 1] puisque sur cet intervalle la fonction ff est strictement négative (son maximum étant 1−1).

Par contre sur l’intervalle [1;+[[1 ; +\infty[ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution :

La fonction ff est continue sur RR puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur [1;+[[1 ; +\infty [ ;

  • La fonction f est strictement croissante sur [1 ;+[[1 ;+\infty[ ;
  • f(1)=2<0f(1)=-2 < 0 et limf(x)x+=+>0\lim\limits_{\stackrel {x \to +\infty}{f(x)}}= +\infty >0 donc 0]2;+[0\in ]-2; +\infty [

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution a sur l’intervalle [1;+[[1 ; +\infty[