Pré-requis
Si une fonction est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle alors, pour tout réel compris entre et , l’équation a une unique solution dans l’intervalle .
Soit la fonction définie sur par : .
Démontrons que l’équation admet une unique solution dans .
L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Etapes
Étude des variations de la fonction f pour voir si elle est bien strictement monotone
- Calcul de la dérivée de :
- Afin de dresser le tableau de signe et de variations, on doit savoir pour quelle(s) valeur(s) de la dérivée s’annule :
et
- Tableau de signe et de variations :
- Calcul des extremums
Vérification que l’équation n’admet qu’une seule solution
Il apparaît dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle puisque sur cet intervalle la fonction est strictement négative (son maximum étant ).
Par contre sur l’intervalle nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation admet une unique solution :
La fonction est continue sur puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur ;
- La fonction f est strictement croissante sur ;
- et donc
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution a sur l’intervalle