Savoir-faire Savoir montrer qu’une équation f(x)=0 admet une unique solution dans R

Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a; b]$.

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=2x^3-3x^2-1$.
Démontrons que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans $\mathbb{R}$.

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Étude des variations de la fonction f pour voir si elle est bien strictement monotone

• Calcul de la dérivée de $f$ :
  $f^\prime(x)=2 \times 3x^2-3\times 2x=6x^2-6x=6x(x-1)$
• Afin de dresser le tableau de signe et de variations, on doit savoir pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la dérivée s’annule :

$$6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$$ et $$x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$$

• Tableau de signe et de variations :

• Calcul des extremums

$f(0)=2 \times 0^3-3\times 0^2-1=-1$

$f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty$

Vérification que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution

Il apparaît dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle $] -\infty ; 1]$ puisque sur cet intervalle la fonction $f$ est strictement négative (son maximum étant $-1$).

Par contre sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution :

La fonction $f$ est continue sur $R$ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur $[1 ; +\infty [$ ;

• La fonction f est strictement croissante sur $[1 ;+\infty[$ ;
• $f(1)=-2 < 0$ et $\lim\limits_{\stackrel {x \to +\infty}{f(x)}}= +\infty >0$ donc $0\in ]-2; +\infty [$

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution a sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$