Savoir passer de la forme algébrique à la forme exponentielle

$z=a+ib=r(\cos\theta +i\sin\theta)\Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} a=r\cos\theta \\ b=r\sin\theta \end{array} \right.$

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

Calcul du module

$r =|z| =\sqrt{3+3^2}=\sqrt{3+9} = \sqrt{3 \times 4} = 2 \times \sqrt{3}$

Calcul de l’argument

$\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta = \dfrac a r= \dfrac {\sqrt3}{2 \times \sqrt{3}}= \dfrac 1 2 \\ \sin\theta = \dfrac b r = \dfrac {-3}{2 \times \sqrt 3}=\dfrac {-\sqrt 3 \times \sqrt 3}{2 \times \sqrt 3}= -\dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right. \Longrightarrow \theta = - \dfrac{\pi}{3}$

Écriture sous la forme exponentielle

$z=r(\cos\theta + i \sin \theta)=r \times e^{i\theta}=2 \times \sqrt 3 \times e^{-\tfrac {i\pi}{3}}$