Médaille
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Marianne

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officiel 2018 - 2019

Savoir passer de la forme algébrique à la forme exponentielle
Savoir-faire

Pré-requis

z=a+ib=r(cosθ+isinθ){a=rcosθb=rsinθz=a+ib=r(\cos\theta +i\sin\theta)\Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} a=r\cos\theta \ b=r\sin\theta \end{array} \right.

eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

Etapes

Calcul du module

r=z=3+32=3+9=3×4=2×3r =|z| =\sqrt{3+3^2}=\sqrt{3+9} = \sqrt{3 \times 4} = 2 \times \sqrt{3} Calcul de l’argument

{cosθ=ar=32×3=12sinθ=br=32×3=3×32×3=32θ=π3\left\lbrace \begin{array}{l} \cos\theta = \dfrac a r= \dfrac {\sqrt3}{2 \times \sqrt{3}}= \dfrac 1 2 \ \sin\theta = \dfrac b r = \dfrac {-3}{2 \times \sqrt 3}=\dfrac {-\sqrt 3 \times \sqrt 3}{2 \times \sqrt 3}= -\dfrac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right. \Longrightarrow \theta = - \dfrac{\pi}{3}
Écriture sous la forme exponentielle

z=r(cosθ+isinθ)=r×eiθ=2×3×eiπ3z=r(\cos\theta + i \sin \theta)=r \times e^{i\theta}=2 \times \sqrt 3 \times e^{-\tfrac {i\pi}{3}}