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z=a+ib=r(cosθ+isinθ)⟹{a=rcosθb=rsinθz=a+ib=r(\cos\theta +i\sin\theta)\Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} a=r\cos\theta \ b=r\sin\theta \end{array} \right.z=a+ib=r(cosθ+isinθ)⟹{a=rcosθb=rsinθ
eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ
Développer l’exponentielle
Soit z=4×e−iπ4z=4\times e^{\frac{-i\pi}{4}}z=4×e4−iπ
z=4×e−iπ4=4×(cos(−π4)+isin(−π4))z=4\times e^{\frac{-i\pi}{4}}=4\times\left(\cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)\right)z=4×e4−iπ=4×(cos(4−π)+isin(4−π))
Simplifier l’expression pour obtenir la forme algébrique
z=4×(cos(−π4)+isin(−π4))=4×(22−i22)=422−i422=22−i22\begin{array}{ll} z&=4\times\left(\cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)\right) \ &=4\times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{i\sqrt{2}}{2}\right) \ &=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}-\dfrac{i4\sqrt{2}}{2} \ &=2\sqrt{2}-i 2\sqrt{2} \end{array}z=4×(cos(4−π)+isin(4−π))=4×(22−2i2)=242−2i42=22−i22