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Savoir résoudre une équation du second degré dans C

Savoir résoudre une équation du second degré dans C
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Pré-requis

Sur C\mathbb{C}, l’équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 admet les solutions suivantes :

  • si Δ⟩0\Delta\rangle0 alors l’équation admet deux solutions réelles : {z1=−b+Δ2az2=−b−Δ2a\left\lbrace \begin{aligned} z1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ z2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \ \end{aligned}\right .
  • si Δ=0\Delta=0 alors l’équation admet une unique solution : z=−b2az=\dfrac{-b}{2a}
  • Si Δ⟨0\Delta\langle0 alors l’équation admet deux solutions complexes : { z1=−b+i−Δ2a z2=−b−i−Δ2a \left\lbrace \begin{aligned}\ z1&=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \ z2&=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{aligned}\right .

Résolvons l’équation z2−6z+25=0z^2-6z+25=0

Etapes

Calcul du discriminant

Δ=36−4×25=−64=−(82)\Delta=36-4 \times 25=-64=-(8^2)

Δ⟨0\Delta\langle0 par conséquent l’équation admet deux solutions. Détermination des solutions de l’équation

{z1=6+i−(−64)2z2=6−i−(−64)2 \left\lbrace \begin{aligned} z1=\dfrac{6+i\sqrt{-(-64)}}{2} \ z2=\dfrac{6-i\sqrt{-(-64)}}{2} \ \end{aligned}\right . ainsi { z1=3+4i z2=3−4i\left\lbrace\begin{aligned}\ z1&=3+4i \ \ z2&=3-4i \end{aligned}\right .