Savoir-faire Savoir résoudre une équation du second degré dans C

Sur $\mathbb{C}$, l’équation $az^2+bz+c=0$ admet les solutions suivantes :

• si $\Delta\rangle0$ alors l’équation admet deux solutions réelles : $\left\lbrace \begin{aligned} z_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \end{aligned}\right .$
• si $\Delta=0$ alors l’équation admet une unique solution : $z=\dfrac{-b}{2a}$
• Si $\Delta\langle0$ alors l’équation admet deux solutions complexes : $\left\lbrace \begin{aligned}\ z_1&=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \\ \ z_2&=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \end{aligned}\right .$

Résolvons l’équation $z^2-6z+25=0$

Calcul du discriminant

$\Delta=36-4 \times 25=-64=-(8^2)$

$\Delta\langle0$ par conséquent l’équation admet deux solutions.

Détermination des solutions de l’équation

$\left\lbrace \begin{aligned} z_1=\dfrac{6+i\sqrt{-(-64)}}{2} \\ z_2=\dfrac{6-i\sqrt{-(-64)}}{2} \ \end{aligned}\right .$ ainsi $\left\lbrace\begin{aligned}\ z_1&=3+4i \\ \ z_2&=3-4i \end{aligned}\right .$