Savoir utiliser la formule des probabilités totales - Mathématiques

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Savoir utiliser la formule des probabilités totales

Savoir-faire

Pré-requis

Soient $A$ des évènements, $\lbrace A$ 1;A2…;An\rbrace ${A_{1}; A_{2} \dots; A_{n}}$ forment une partition d’un évènement $E$ si :

$E=A$ et
Pour tout $i$ , $j$ tels que $i\neq j : A$ , c’est-à-dire que les évènements sont incompatibles $2$ à $2$ .

Soient $A$ une partition de l’univers $\Omega$ , pour tout évènement $E$ :
$P(E)=P(E\cap A$ 1 )+P(E\cap A2 )+⋯+P(E\cap An) $P (E) = P (E \cap A_{1}) + P (E \cap A_{2}) + \dots + P (E \cap A_{n})$ .

Une urne contient $6$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire $2$ boules successivement et sans remise.

Etapes

Déterminer une partition de l’univers.

Les évènements $B$ « La boule tirée lors du 1er tirage est blanche » et $N$ 1 $N_{1}$ « La boule tirée lors du 1er tirage est noire » forment une partition de l’univers.

Déterminer la probabilité d’un évènement.

Déterminer la probabilité de l’évènement $B_2$ « La boule tirée lors du 2ème tirage est blanche »
On applique la formule des probabilités totales :

$P(B$
$=P(B$ 1 )\times P{B1} (B2 )+P(N1 )\times P{N1}(B_2 ) $= P (B_{1}) \times P_{B 1} (B_{2}) + P (N_{1}) \times P_{N 1} (B_{2})$
$= \dfrac 6 9 \times \dfrac 5 8 + \dfrac 3 9 \times \dfrac 6 8 = \dfrac {30} {72} + \dfrac {18}{72}= \dfrac {48}{72} = \dfrac 2 3$