Soient $A_1;A_2…;A_n, $ des évènements, $\lbrace A_1;A_2…;A_n\rbrace$ forment une partition d’un évènement $E$ si :
- $E=A_1 \cup A_2 \cup…\cup A_n$ et
- Pour tout $i$, $j$ tels que $i\neq j : A_i \cap A_j=\varnothing$ , c’est-à-dire que les évènements sont incompatibles $2$ à $2$.
Soient $A_1;A_2…;A_n$ une partition de l’univers $\Omega$, pour tout évènement $E$ :
$P(E)=P(E\cap A_1 )+P(E\cap A_2 )+⋯+P(E\cap A_n)$.
Une urne contient $6$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire $2$ boules successivement et sans remise.
Déterminer une partition de l’univers.
Les évènements $B_1$ « La boule tirée lors du 1er tirage est blanche » et $N_1$ « La boule tirée lors du 1er tirage est noire » forment une partition de l’univers.
Déterminer la probabilité d’un évènement.
Déterminer la probabilité de l’évènement $B_2$ « La boule tirée lors du 2ème tirage est blanche »
On applique la formule des probabilités totales :
$P(B_2 )=P(B_2 \cap B_1 )+P(B_2 \cap N_1 )$
$=P(B_1 )\times P_{B1} (B_2 )+P(N_1 )\times P_{N1}(B_2 )$
$= \dfrac 6 9 \times \dfrac 5 8 + \dfrac 3 9 \times \dfrac 6 8 = \dfrac {30} {72} + \dfrac {18}{72}= \dfrac {48}{72} = \dfrac 2 3$