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Savoir utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique pour une prise de décision
Savoir-faire

Pré-requis

On utilise un intervalle de fluctuation dans deux situations : Quand on connaît la proportion $P$ du caractère dans la population ou quand on fait une hypothèse sur la valeur de cette proportion.

  • La définition de l’intervalle de fluctuation asymptotique :

L’intervalle $I_n = \left[p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}; p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ contient la fréquence $F_n = \dfrac{X_n}{n}$
avec une probabilité qui se rapproche de $1 - \alpha$ lorsque $n$ augmente.
On dit que c’est un intervalle de fluctuation asymptotique de $F_n$ au seuil de $1 - \alpha$.
Cette approximation est valable lorsque $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$.

On retiendra en particulier que l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ** pour une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ est l’intervalle : $I_n = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$.

  • Pour prendre une décision à partir d’un échantillon, on calcule la fréquence $f$ du caractère dans l’échantillon et on applique la règle de décision suivante :
    On a l’hypothèse : « la proportion de ce caractère dans la population est $p$ ».
    Si $I$ est l’intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95 % dans les échantillons de taille $n$, alors on applique la règle de décision suivante :
  • si $f \in I$, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est $p$ dans la population n’est pas remise en question, et on l’accepte, avec un risque de 5 % de se tromper.
  • si $f \notin I$, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion est $p$.

À l’aide d’un exemple nous avons montrer utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique pour une prise de décision.

Selon la théorie de Mendel, certaines cosses de petits pois devraient fournir des petits pois jaunes et verts dans les proportions respectives de 75 % et 25 %. On souhaite tester l’hypothèse selon laquelle la proportion des pois jaunes est $p=0,75$ en mettant en place une expérience sur 224 petits pois considérés comme un échantillon aléatoire. L’expérience a permis d’obtenir 176 pois jaunes et 48 pois verts.

Etapes

Vérifier que les conditions sont réunies

  • $n = 224 \geq 30$
  • $np = 224 \times 0,75= 168 \geq 5$
  • $n(1-p) = 224 \times(1-0,75)=56 \geq 5$

Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

$\small \begin{aligned}I &= \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \\ &= \left[0,75-1.96\dfrac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{224}};0,75+1,96\dfrac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{224}} \right] \\&= \left[ 0,693 \, ; 0,807 \right]\end{aligned}$

Calculer la fréquence d’apparition des pois jaunes dans l’échantillon

$f = \dfrac{176}{224} \approx 0,786$

Appliquer la règle de décision

$0,786 \in \left[0,693\ ; 0,807 \right]$, on accepte donc l’hypothèse avec un risque de 5 % de se tromper.