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Symboles : égalité, inégalité et approximation
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Introduction

Les notions d’égalité ou d’inégalité sont des notions essentielles en mathématiques car elles sont à la base des équations et des inéquations qui permettent de traduire des problèmes réels en language mathématique.

Decription

Égalité

Une égalité se note $a=b$ où $a$ et $b$ désignent le même objet mathématique.

  • Une égalité reste vraie si on applique la même opération des deux côtés de l’égalité (méthode de résolution des équations).
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Exemple

Soit une fonction $f$ définie sur un domaine $D$.
Si $a\in D$ alors $a=b\Rightarrow f(a)=f(b)$.

Inégalité

On est dans le cas d’une inégalité dès lors que l’affirmation $a=b$ est fausse, c’est-à-dire que $a$ et $b$ désignent des objets mathématiques différents, donc $a$ est différent de $b$, noté $a≠b$.

  • À l’inverse d’une égalité, une inégalité ne reste pas forcément vraie lorsque l’on applique la même opération des deux côtés.
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Exemple

Soit $a\in \mathbb{R}$ et $b=a+2\pi$, on a bien $a≠b$ mais $\cos(b)=\cos(a+2\pi)=\cos (a)$ car la fonction cosinus est $2\pi$-périodique.

  • Une inégalité permet de comparer la valeur de deux réels.

Soit $a$, $b\in \mathbb{R}$ :

$a<b$, $a$ est strictement plus petit que $b$
$a > b$, $a$ est strictement plus grand que $b$
$a\leq b$, $a$ est plus petit ou égal à $b$
$a\geq b$, $a$ est plus petit ou égal à $b$

Toute inégalité vérifie les propriétés suivantes, pour $a,b,c\in \mathbb{R}$ :

  • Si $a>b$ et $b>c$, alors $a>c$, il s’agit de la transitivité.
  • Toute fonction strictement croissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité tout en la conservant (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
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Exemple

Sur $\mathbb{R}$, $a<b \Leftrightarrow a^2<b^2 \Leftrightarrow e^a<e^b$
Sur, $]0;+\infty[$, $a<b \Leftrightarrow \ln(a)< \ln(b) \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

  • Toute fonction strictement décroissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité, inverse le sens de l’inégalité (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
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Exemple

Sur $\mathbb{R}$, $a>b\Leftrightarrow\dfrac1a < \dfrac1b \Leftrightarrow -a < -b$

Approximation

  • La phrase mathématique « $a$ est approximativement égal à $b$ », notée $a\approx b$ ou $a \backsimeq b$, signifie que $a$ et $b$ sont quasiment égaux compte tenu des ordres de grandeurs des autres valeurs du problème.
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Exemple

Si l’on calcule la distance Terre-Lune qui vaut $D=384\ 400\ \text{km}$ et que notre calcul donne comme résultat $D'=384\ 401,12\ \text{km}$, on peut considérer que $D\approx D'$.

  • Pour un problème donné, soit $a$ la valeur théorique et $a'$ la valeur calculée. S’il est possible de garantir que la valeur calculée $a'$ appartient à un intervalle $[a-d;a+d]$, alors on dit que la valeur $a$ est égale à $a'$ plus ou moins $d$, noté $a=a'±d$.
  • $d$ est l’approximation maximale commise sur la valeur $a$.
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Exemple

Une règle est graduée en millimètres, par conséquent toute mesure effectuée à l’aide d’une règle sera précise au millimètre près.
Ainsi, si l’on mesure la longueur d’une feuille de format A8 $(74\ \text{mm})$, la mesure sera entre $73$ et $75\ \text{mm}$, soit $74±1\ \text{mm}$.