Symboles : égalité, inégalité et approximation

Les notions d’égalité ou d’inégalité sont des notions essentielles en mathématiques car elles sont à la base des équations et des inéquations qui permettent de traduire des problèmes réels en language mathématique.

Égalité

Une égalité se note $a=b$ où $a$ et $b$ désignent le même objet mathématique.

• Une égalité reste vraie si on applique la même opération des deux côtés de l’égalité (méthode de résolution des équations).

Exemple

Soit une fonction $f$ définie sur un domaine $D$.
Si $a\in D$ alors $a=b\Rightarrow f(a)=f(b)$.

Inégalité

On est dans le cas d’une inégalité dès lors que l’affirmation $a=b$ est fausse, c’est-à-dire que $a$ et $b$ désignent des objets mathématiques différents, donc $a$ est différent de $b$, noté $a≠b$.

• À l’inverse d’une égalité, une inégalité ne reste pas forcément vraie lorsque l’on applique la même opération des deux côtés.

Exemple

Soit $a\in \mathbb{R}$ et $b=a+2\pi$, on a bien $a≠b$ mais $\cos(b)=\cos(a+2\pi)=\cos (a)$ car la fonction cosinus est $2\pi$-périodique.

• Une inégalité permet de comparer la valeur de deux réels.

Toute inégalité vérifie les propriétés suivantes, pour $a,b,c\in \mathbb{R}$ :

• Si $a>b$ et $b>c$, alors $a>c$, il s’agit de la transitivité.
• Toute fonction strictement croissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité tout en la conservant (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).

Exemple

Sur $\mathbb{R}$, $a<b \Leftrightarrow a^2<b^2 \Leftrightarrow e^a<e^b$
Sur, $]0;+\infty[$, $a<b \Leftrightarrow \ln(a)< \ln(b) \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$

• Toute fonction strictement décroissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité, inverse le sens de l’inégalité (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).

Exemple

Sur $\mathbb{R}$, $a>b\Leftrightarrow\dfrac1a < \dfrac1b \Leftrightarrow -a < -b$

Approximation

• La phrase mathématique « $a$ est approximativement égal à $b$ », notée $a\approx b$ ou $a \backsimeq b$, signifie que $a$ et $b$ sont quasiment égaux compte tenu des ordres de grandeurs des autres valeurs du problème.

Exemple

Si l’on calcule la distance Terre-Lune qui vaut $D=384\ 400\ \text{km}$ et que notre calcul donne comme résultat $D'=384\ 401,12\ \text{km}$, on peut considérer que $D\approx D'$.

• Pour un problème donné, soit $a$ la valeur théorique et $a'$ la valeur calculée. S’il est possible de garantir que la valeur calculée $a'$ appartient à un intervalle $[a-d;a+d]$, alors on dit que la valeur $a$ est égale à $a'$ plus ou moins $d$, noté $a=a'±d$.
• $d$ est l’approximation maximale commise sur la valeur $a$.

Exemple

Une règle est graduée en millimètres, par conséquent toute mesure effectuée à l’aide d’une règle sera précise au millimètre près.
Ainsi, si l’on mesure la longueur d’une feuille de format A8 $(74\ \text{mm})$, la mesure sera entre $73$ et $75\ \text{mm}$, soit $74±1\ \text{mm}$.