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Symboles : égalité, inégalité et approximation
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Introduction

Les notions d’égalité ou d’inégalité sont des notions essentielles en mathématiques car elles sont à la base des équations et des inéquations qui permettent de traduire des problèmes réels en language mathématique.

Description

Égalité

Une égalité se note a=ba=baa et bb désignent le même objet mathématique.

  • Une égalité reste vraie si on applique la même opération des deux côtés de l’égalité (méthode de résolution des équations).
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Exemple

Soit une fonction ff définie sur un domaine DD.
Si aDa\in D alors a=bf(a)=f(b)a=b\Rightarrow f(a)=f(b).

Inégalité

On est dans le cas d’une inégalité dès lors que l’affirmation a=ba=b est fausse, c’est-à-dire que aa et bb désignent des objets mathématiques différents, donc aa est différent de bb, noté aba≠b.

  • À l’inverse d’une égalité, une inégalité ne reste pas forcément vraie lorsque l’on applique la même opération des deux côtés.
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Exemple

Soit aRa\in \mathbb{R} et b=a+2πb=a+2\pi, on a bien aba≠b mais cos(b)=cos(a+2π)=cos(a)\cos(b)=\cos(a+2\pi)=\cos (a) car la fonction cosinus est 2π2\pi-périodique.

  • Une inégalité permet de comparer la valeur de deux réels.

Soit aa, bRb\in \mathbb{R} :

a<ba, aa est strictement plus petit que bb
aba > b, aa est strictement plus grand que bb
aba\leq b, aa est plus petit ou égal à bb
aba\geq b, aa est plus petit ou égal à bb

Toute inégalité vérifie les propriétés suivantes, pour a,b,cRa,b,c\in \mathbb{R} :

  • Si a>ba>b et b>cb>c, alors a>ca>c, il s’agit de la transitivité.
  • Toute fonction strictement croissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité tout en la conservant (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
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Exemple

Sur R\mathbb{R}, a<ba2<b2ea<eba
Sur, ]0;+[]0;+\infty[, a<bln(a)<ln(b)a<ba

  • Toute fonction strictement décroissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité, inverse le sens de l’inégalité (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
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Exemple

Sur R\mathbb{R}, a>b1a<1ba<ba>b\Leftrightarrow\dfrac1a < \dfrac1b \Leftrightarrow -a < -b

Approximation

  • La phrase mathématique « aa est approximativement égal à bb », notée aba\approx b ou aba \backsimeq b, signifie que aa et bb sont quasiment égaux compte tenu des ordres de grandeurs des autres valeurs du problème.
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Exemple

Si l’on calcule la distance Terre-Lune qui vaut D=384 400 kmD=384\ 400\ \text{km} et que notre calcul donne comme résultat D=384 401,12 kmD'=384\ 401,12\ \text{km}, on peut considérer que DDD\approx D'.

  • Pour un problème donné, soit aa la valeur théorique et aa' la valeur calculée. S’il est possible de garantir que la valeur calculée aa' appartient à un intervalle [ad;a+d][a-d;a+d], alors on dit que la valeur aa est égale à aa' plus ou moins dd, noté a=a±da=a'±d.
  • dd est l’approximation maximale commise sur la valeur aa.
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Exemple

Une règle est graduée en millimètres, par conséquent toute mesure effectuée à l’aide d’une règle sera précise au millimètre près.
Ainsi, si l’on mesure la longueur d’une feuille de format A8 (74 mm)(74\ \text{mm}), la mesure sera entre 7373 et 75 mm75\ \text{mm}, soit 74±1 mm74±1\ \text{mm}.