Savoir-faire : Vérifier qu’une fonction F est la primitive d’une fonction f

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
Une fonction $F$ dérivable sur $I$ est la primitive de $f$ si sa dérivée est égale à $f$.

Vérifier l’intervalle de définition et de dérivabilité de $F$

Soient les fonction $F(x)=\dfrac{1}{(2-3x)^2}$, et $f(x)=\dfrac{6}{(2-3x)^3}$

$F$ est définie et dérivable pour tout $x\in \mathbb R$ tel que $(2-3x)^2≠0\Leftrightarrow x≠\dfrac 23$
Donc $F$ est définie et dérivable sur $\left]-\infty;\dfrac 23 \right[\ \cup\ \left] \dfrac 23 ;+\infty \right[$

Calculer la dérivée de $F$

$F$ est de la forme $F(x)=\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=(2-3x)^2$

Nous avons donc $F'(x)=-\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$

$u$ est de la forme $u(x)=v(x)^2$ avec $v(x)=2-3x$,
donc $u'(x)=2\times v'(x)v(x)=2\times(-3)\times(2-3x)=-6\times(2-3x)$

Ainsi $F'(x)=-\dfrac{u' (x)}{u(x)^2 }=-\dfrac{-6(2-3x)}{(2-3x)^4}=\dfrac{6}{(2-3x)^3}$

Conclure

Nous constatons que la dérivée de $F$ est égale à $f$. Donc $F$ est une primitive de $f$.