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Marianne

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Vérifier qu’une fonction F est la primitive d’une fonction f
Savoir-faire

Pré-requis

Soit ff une fonction continue sur l’intervalle II.
Une fonction FF dérivable sur II est la primitive de ff si sa dérivée est égale à ff.

Etapes

Vérifier l’intervalle de définition et de dérivabilité de FF

Soient les fonction F(x)=1(23x)2F(x)=\dfrac{1}{(2-3x)^2}, et f(x)=6(23x)3f(x)=\dfrac{6}{(2-3x)^3}

FF est définie et dérivable pour tout xRx\in \mathbb R tel que (23x)20x23(2-3x)^2≠0\Leftrightarrow x≠\dfrac 23
Donc FF est définie et dérivable sur ];23[  ]23;+[\left]-\infty;\dfrac 23 \right[\ \cup\ \left] \dfrac 23 ;+\infty \right[ Calculer la dérivée de FF

FF est de la forme F(x)=1u(x)F(x)=\dfrac{1}{u(x)} avec u(x)=(23x)2u(x)=(2-3x)^2

Nous avons donc F(x)=u(x)u(x)2F'(x)=-\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}

uu est de la forme u(x)=v(x)2u(x)=v(x)^2 avec v(x)=23xv(x)=2-3x,
donc u(x)=2×v(x)v(x)=2×(3)×(23x)=6×(23x)u'(x)=2\times v'(x)v(x)=2\times(-3)\times(2-3x)=-6\times(2-3x)

Ainsi F(x)=u(x)u(x)2=6(23x)(23x)4=6(23x)3F'(x)=-\dfrac{u' (x)}{u(x)^2 }=-\dfrac{-6(2-3x)}{(2-3x)^4}=\dfrac{6}{(2-3x)^3}

Conclure

Nous constatons que la dérivée de FF est égale à ff. Donc FF est une primitive de ff.