Sujet bac 2023 2 - Spécialité mathématiques

Lien vers la correction : Corrigé bac 2023 jour 2

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs. Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

• la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\frac 25$ ;
• si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\frac 7{10}$ ;
• la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\frac {12}{25}$.

On considère les événements suivants :

• $A$ : « Le joueur choisit le monde A » ;
• $B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
• $G$ : « Le joueur gagne la partie ».

1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :

• $\frac 7{10}$
• $\frac 3{25}$
• $\frac 7{25}$
• $\frac {24}{125}$

2. La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :

• $\frac 15$
• $\frac 13$
• $\frac 7{15}$
• $\frac 5{12}$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\frac {12}{25}$.

3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à :

• $0,859$
• $0,671$
• $0,188$
• $0,187$

4. On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :

• $n= 2$
• $n = 3$
• $n= 4$
• $n = 5$

5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :

• $1-\left(\frac{12}{25}\right)^{10}$
• $\left(\frac {13}{25}\right)^{10}$
• $\left(\frac {12}{25}\right)^{10}$
• $1-\left(\frac{13}{25}\right)^{10}$

Exercice 2 (5 points)

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique.
Au début de l’étude la population est de $100\,000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400\,000$.

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60\,\%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0= 0,1$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 0,1\times 1,6^n$$

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0,4$.

4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $v_n$, définie par : $v_0= 0,1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$v_{n+1}= 1,6v_n - 1,6v_n^2$$ où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$ par : $$f(x) = 1,6x - 1,6x^2$$ a. Résoudre l’équation $f(x)=x$. b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0\ ;\, \frac 12\right]$.

3.a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$0\leq v_n\leq v_{n+1}\leq \dfrac 12$$ b. Montrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.

c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4. On donne ci-dessous la fonction $\purple{\text{seuil}}$, écrite en langage Python.

a. Qu’observe-t-on si on saisit $\purple{\text{seuil(0.4)}}$ ?
b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\purple{\text{seuil(0.35)}}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, on considère :

• le plan $\mathcal P_1$ dont une équation cartésienne est : $$2x+y-z+2=0$$
• le plan $\mathcal P_2$ passant par le point $B\,(1\ ;\, 1\ ;\, 2)$ et dont un vecteur normal est : $$\overrightarrow{n_2\,}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1 \end{pmatrix}$$

1.a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{n_1\,}$ normal au plan $\mathcal P_1$.
b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont perpendiculaires.

2.a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal P_2$.
b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x=0 \\ y=-2+t & \text{où } t\in \mathbb R \\ z=t \end{cases}$$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$.

On considère le point $A\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal P_1$ ni à $\mathcal P_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

3. On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0\ ;\, -2 + t\ ;\, t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
a. Montrer que, pour tout réel $t$ : $$AM_t=\sqrt{2t^2-8t+11}$$ b. En déduire que $AH =\sqrt 3$.

4. On note $\mathcal D_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal P_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal P_1$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal D_1$.
b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées : $$\left(-\dfrac 13\ ;\, \dfrac 13\ ;\, \dfrac 53\right)$$

5. Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal P_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\frac 43\ ;\, \frac 23\ ;\, \frac 43\right)$ et que $H$ a pour coordonnées $(0\ ;\, 0\ ;\, 2)$.
Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.

Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \ln {(1 + \text{e}^{-x})}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\, \vec \imath,\,\vec \jmath)$. La courbe $\mathcal C$ est tracée ci-dessous.

1.a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
Calculer $f^{\prime}(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$ : $$f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{1+\text{e}^x}$$ d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.

2. On note $\mathcal T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal C$ en son point d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal T_0$.
b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$.
c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $$f(x)\geq -\dfrac 12x+\ln{(2)}$$

3. Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal C$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc :

a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $$f(x)-f(-x)=-x$$ b. En déduire que les droites $\mathcal T_0$ et $(M_aN_a)$ sont parallèles.