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Sujet zéro 2021 - Spécialité mathématiques
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Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Session 2021 – sujet 0

MATHÉMATIQUES

Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère les suites (un)(un) et (vn)(vn) telles que, pour tout entier naturel nn,

un=1(14)netvn=1+(14)nun=1-\left(\dfrac 14\right)^n \qquad \text{et}\qquad vn=1+\left(\dfrac 14\right)^n

On considère de plus une suite (wn)(wn) qui, pour tout entier naturel nn, vérifie unwnvnun\leq wn\leq vn.

On peut affirmer que :

  • Les suites (un)(un) et (vn)(vn) sont géométriques.
  • La suite (wn)(w_n) converge vers 11.
  • La suite (un)(u_n) est minorée par 11.
  • La suite (wn)(w_n) est croissante.

Question 2

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb R par : f(x)=xex2f(x)=x \text{e}^{x^2}.
La fonction dérivée de ff est la fonction ff^{\prime} définie sur R\mathbb R par :

  • f(x)=2xex2f^{\prime}(x)=2x \text{e}^{x^2}
  • f(x)=(1+2x)ex2f^{\prime}(x)=(1+2x) \text{e}^{x^2}
  • f(x)=(1+2x2)ex2f^{\prime}(x)=(1+2x^2) \text{e}^{x^2}
  • f(x)=(2+x2)ex2f^{\prime}(x)=(2+x^2) \text{e}^{x^2}

Question 3

Que vaut limx+x212x22x+1\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {x^2-1}{2x^2-2x+1} ?

  • 1-1
  • 00
  • 12\frac 12
  • ++\infty

Question 4

On considère une fonction hh continue sur l’intervalle [1 ;1][-1\ ;\, 1] telle que :

h(1)=0h(0)=2h(1)=0h(-1)=0 \qquad h(0)=2 \qquad h(1)=0

On peut affirmer que :

  • La fonction hh est croissante sur l’intervalle [1 ;0][-1\ ;\, 0].
  • La fonction hh est positive sur l’intervalle [1 ;1][-1\ ;\, 1].
  • Il existe au moins un nombre réel aa dans l’intervalle [0 ;1][0\ ;\, 1] tel que h(a)=1h(a)=1.
  • L’équation h(x)=1h(x)=1 admet exactement deux solutions dans l’intervalle [1 ;1][-1\ ;\, 1].

Question 5

On suppose que gg est une fonction dérivable sur l’intervalle [4 ;4][-4\ ;\, 4].
On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée gg^{\prime}.

Alt mathématiques terminale sujet zéro 2021

On peut affirmer que :

  • gg admet un maximum en 2-2.
  • gg est croissante sur l’intervalle [1 ;2][1\ ;\, 2].
  • gg est convexe sur l’intervalle [1 ;2][1\ ;\, 2].
  • gg admet un minimum en 00.

Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH de côté 11, le milieu II de [EF][EF] et JJ le symétrique de EE par rapport à FF.

Alt mathématiques terminale sujet zéro 2021

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé (A ;AB ,AD ,AE )(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ }).

Question 1

  • Par lecture graphique, donner les coordonnées des points II et JJ.
  • En déduire les coordonnées des vecteurs DJ \overrightarrow{DJ\ }, BI \overrightarrow{BI\ } et BG \overrightarrow{BG\ }.
  • Montrer que DJ \overrightarrow{DJ\ } est un vecteur normal au plan (BGI)(BGI).
  • Montrer qu’une équation cartésienne du plan (BGI)(BGI) est 2xy+z2=02x−y+z−2=0.

Question 2

On note dd la droite passant par FF et orthogonale au plan (BGI)(BGI).

  • Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.
  • On considère le point LL de coordonnées (23 ;16 ;56)(\frac 23\ ;\, \frac 16\ ;\, \frac 56).
    Montrer que LL est le point d’intersection de la droite dd et du plan (BGI)(BGI).

Question 3

On rappelle que le volume VV d’une pyramide est donné par la formule :

V=13×B×hV=\dfrac 13\times \mathcal B\times h

B\mathcal B est l’aire d’une base et hh la hauteur associée à cette base.

  • Calculer le volume de la pyramide FBGIFBGI.
  • En déduire l’aire du triangle BGIBGI.

Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points)

Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

  • la formation avec conduite accompagnée ;
  • la formation traditionnelle.

On considère un groupe de 300300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :

  • 7575 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 5050 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
  • 225225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100100 ont réussi l’examen à la première présentation, 7575 à la deuxième et 5050 à la troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :

  • AA : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
  • R1R_1 : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
  • R2R_2 : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
  • R3R_3 : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».

Question 1

Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.

Question 2

  • Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
  • Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à 13\frac 13.
  • La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

Question 3

On note XX la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite.
Ainsi, {X=1}\lbrace X=1\rbrace correspond à l’événement R1R_1.

  • Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire XX.
  • Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Question 4

On choisit, successivement et de façon indépendante, nn personnes parmi les 300300 du groupe étudié, où nn est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de nn personnes parmi les 300300 personnes du groupe.
On admet que la probabilité de l’événement R3R_3 est égale à 16\frac 16.

  • Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à 1(56)n1-\left(\frac 56\right)^n.

On considère la fonction Python seuil\bold{seuil} ci-dessous, où pp est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ;1[]0\ ;\, 1[.

def seuil(p):n = 1while 1-(5/6)n <= p:n = n+1return n\begin{aligned} &\text{def seuil(p):} \ &\qquad\qquad \text{n = 1} \ &\qquad\qquad \text{while 1-(5/6)}^{\ast\ast}\text{n <= p:} \ &\qquad\qquad \qquad\qquad \text{n = n+1} \ &\qquad\qquad \text{return n} \end{aligned}
  • Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0.9)\bold{seuil(0.9)} ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés

  • Logarithme
  • Dérivation, convexité, limites

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

  • la courbe représentative Cf\mathcal C_f d’une fonction ff définie et dérivable sur ]0 ;+[]0\ ;\, +\infty[ ;
  • la tangente TATA à la courbe Cf\mathcal Cf au point AA de coordonnées (1e ;e)\left(\frac 1{\text e}\ ;\, \text{e}\right) ;
  • la tangente TBTB à la courbe Cf\mathcal Cfau point BB de coordonnées (1 ;2)(1\ ;\, 2).

La droite TATA est parallèle à l’axe des abscisses. La droite TBTB coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3 ;0)(3\ ;\, 0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ;3)(0\ ;\, 3).

Alt mathématiques terminale sujet zéro 2021

On note ff^{\prime} la fonction dérivée de ff.

Partie I

  • Déterminer graphiquement les valeurs de f(1e)f^{\prime}\left(\frac 1{\text{e}}\right) et de f(1)f^{\prime}(1).
  • En déduire une équation de la droite TBT_B.

Partie II

On suppose maintenant que la fonction ff est définie sur ]0 ;+[]0\ ;\, +\infty[ par :

f(x)=2+ln(x)xf(x)=\dfrac{2+\ln{(x)}}x

  • Par le calcul, montrer que la courbe Cf\mathcal C_f passe par les points AA et BB et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  • Déterminer la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers 00 par valeurs supérieures, et la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers ++\infty.
  • Montrer que, pour tout x ]0 ;+[x\in\ ]0\ ;\, +\infty[,

f(x)=1ln(x)x2f^{\prime}(x)=\dfrac {-1-\ln{(x)}}{x^2}

  • Dresser le tableau de variations de ff sur ]0 ;+[]0\ ;\, +\infty[.
  • On note ff^{\prime\prime} la fonction dérivée seconde de ff.
    On admet que, pour tout x ]0 ;+[x\in\ ]0\ ;\, +\infty[,

f(x)=1+2ln(x)x3f^{\prime\prime}(x)=\dfrac {1+2\ln{(x)}}{x^3}

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel ff est convexe.

Exercice B

Principaux domaines abordés

  • Équations différentielles
  • Fonction exponentielle ; suites

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225°C225\,\degree \text{C}.
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.

On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[. Dans cette modélisation, f(t)f(t) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée tt, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, f(0,5)f(0,5) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25°C25\,\degree \text{C}.

On admet alors que la fonction ff est solution de l’équation différentielle y+6y=150y^\prime+6y=150.

Question 1

  • Préciser la valeur de f(0)f(0).
  • Résoudre l’équation différentielle y+6y=150y^{\prime}+6y=150.
  • En déduire que pour tout réel t0t\geq 0, on a f(t)=200e6t+25f(t)=200 \text{e}^{-6t}+25.

Question 2

Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four :

  • décroît ;
  • tend à se stabiliser à la température ambiante.

La fonction ff fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?

Question 3

Montrer que l’équation f(t)=40f(t)=40 admet une unique solution dans [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[.

Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40°C40\,\degree \text{C}. On note T0T_0 le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.
On donne plus bas la représentation graphique de la fonction ff dans un repère orthogonal.

Question 4

Avec la précision permise par le graphique, lire T0T0. On donnera une valeur approchée de T0T0 sous forme d’un nombre entier de minutes.

Alt mathématiques terminale sujet zéro 2021

Question 5

On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four.
Ainsi, pour un entier naturel nn, DnD_n désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la n-ieˋmen\text{-ième} et la (n+1)-ieˋme(n+1)\text{-ième} minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel nn :

Dn=f(n60)f(n+160)D_n=f\left(\dfrac n{60}\right)-f\left(\dfrac {n+1}{60}\right)

  • Vérifier que 1919 est une valeur approchée de D0D_0 à 0,10,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
  • Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel nn :

Dn=200e0,1n(1e0,1)D_n=200 \text{e}^{-0,1n}(1-\text e^{-0,1})

En déduire le sens de variation de la suite (Dn)(Dn), puis la limite de la suite (Dn)(Dn).
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?