Fiche de révision : Algèbre de Boole

Propriétés

Soit $f$ une fonction logique de $n$ variables $a_1,\,a_2,\,…,\, a_n$.

$$\begin{aligned} f: \lbrace0\ ;\,1\rbrace^n&\rightarrow \lbrace0\ ;\,1\rbrace \\ a_1,\,a_2,\,…,\, a_n&\mapsto f(a_1,\,a_2,\,…,\, a_n) \end{aligned}$$

• $\bar a$ est le complément de $a$ ;
• avec la porte $\text{ET}$, on parle de produit, d’où le signe « $\cdot$ » ;
• avec la porte $\text{OU}$, on parle de somme, d’où le signe « $+$ ».

Théorème de De Morgan

Théorème

Théorème de De Morgan :

Soit $n$ variables logiques $a_1,\,a_2,\,…,\,a_n$.

• Le complément d’une somme est égal au produit des compléments :

$$\overline{a_1+a_2+…+a_n}=\bar a_1 \cdot \bar a_2 \cdot … \cdot \bar a_,$$

• Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments :

$$\overline{a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n}=\bar a_1 + \bar a_2 + … + \bar a_,$$

Propriétés sur une variable

• Le complément du complément d’une variable est égal à la variable :

$$\bar{\bar a}=a$$

• Il s’agit d’une double négation.
• Propriétés du produit logique

• Propriétés de la somme logique

Propriétés sur plusieurs variables

• Le produit logique a priorité sur la somme logique : la fonction $\text{ET}$ a priorité sur la fonction $\text{OU}$.
• Les parenthèses sont aussi à traiter en priorité : la fonction $\text{NON}$ est l’équivalent d’une parenthèse et doit être traitée en priorité.

Forme canonique

Forme canonique disjonctive

• La forme canonique disjonctive donne une relation directe entre équation logique et table de vérité.
• Un minterme est un produit de $n$ facteurs, chaque facteur étant une variable donnée ou son complément. Il existe $2^n$ mintermes différents possibles.
• Toute fonction booléenne $f$ peut s’écrire sous sa forme disjonctive. Celle-ci est son unique écriture sous forme d’une somme de mintermes.

Forme disjonctive et table de vérité

• Passage de la table de vérité à l’équation logique :
• sur chaque ligne où la sortie est $1$, nous effectuons le produit des valeurs de chaque variable de la ligne ;
• puis nous effectuons la somme des produits obtenus.
• Nous avons ainsi obtenu l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive.
• Passage de l’équation logique à la table de vérité :
• mettre l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive ;
• dans la table de vérité écrire $S=1$ sur chaque ligne concernée par l’équation ;
• et $S=0$ sur les autres.