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Algèbre de Boole

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Propriétés

Soit ff une fonction logique de nn variables a1,a2,,ana1,\,a2,\,…,\, a_n.

f:{0 ;1}n{0 ;1}a1,a2,,anf(a1,a2,,an)\begin{aligned} f: \lbrace0\ ;\,1\rbrace^n&\rightarrow \lbrace0\ ;\,1\rbrace \ a1,\,a2,\,…,\, an&\mapsto f(a1,\,a2,\,…,\, an) \end{aligned}

  • aˉ\bar a est le complément de aa ;
  • avec la porte ET\text{ET}, on parle de produit, d’où le signe « \cdot » ;
  • avec la porte OU\text{OU}, on parle de somme, d’où le signe « ++ ».

Théorème de De Morgan

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Théorème

Théorème de De Morgan :

Soit nn variables logiques a1,a2,,ana1,\,a2,\,…,\,a_n.

  • Le complément d’une somme est égal au produit des compléments :

a1+a2++an=aˉ1aˉ2aˉ,\overline{a1+a2+…+an}=\bar a1 \cdot \bar a2 \cdot … \cdot \bar a,

  • Le complément d’un produit est égal à la somme des compléments :

a1a2an=aˉ1+aˉ2++aˉ,\overline{a1\cdot a2\cdot …\cdot an}=\bar a1 + \bar a2 + … + \bar a,

Propriétés sur une variable

  • Le complément du complément d’une variable est égal à la variable :

aˉˉ=a\bar{\bar a}=a

  • Il s’agit d’une double négation.
  • Propriétés du produit logique

Propriété Schéma électrique équivalent
a0=0a\cdot0=0

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

a1=aa\cdot 1=a

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

aa=aa\cdot a=a

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

aaˉ=0a\cdot\bar a=0

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  • Propriétés de la somme logique

Propriété Schéma électrique équivalent
a+0=aa+0=a

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

a+1=1a+1=1

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

a+a=aa+a=a

première sciences de l’ingénieur algèbre Boole

a+aˉ=1a+\bar a=1

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Propriétés sur plusieurs variables

  • Le produit logique a priorité sur la somme logique : la fonction ET\text{ET} a priorité sur la fonction OU\text{OU}.
  • Les parenthèses sont aussi à traiter en priorité : la fonction NON\text{NON} est l’équivalent d’une parenthèse et doit être traitée en priorité.

Négation A=BAˉ=BˉA=B \Leftrightarrow \bar A=\bar B
Associativité

  • abc=a(bc)=(ab)ca\cdot b\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
  • a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+ca+ b+ c=a+(b+ c)=(a+ b)+c
Commutativité
  • ab=baa\cdot b=b\cdot a
  • a+b=b+aa+ b=b+ a
  • Distributivité
  • a(b+c)=ab+aca\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c
  • a+bc=(a+b)(a+c)a+ b\cdot c=(a+ b) \cdot (a+ c)
  • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c + b\cdot d
  • Absorption
  • a+ab=aa+a\cdot b=a
  • a+aˉb=b+bˉa=a+ba+\bar a\cdot b=b+\bar b\cdot a=a+b
  • a(a+b)=aa\cdot (a+b)=a
  • ab+abˉ=aa\cdot b + a\cdot \bar b=a
  • Forme canonique

    Forme canonique disjonctive

    • La forme canonique disjonctive donne une relation directe entre équation logique et table de vérité.
    • Un minterme est un produit de nn facteurs, chaque facteur étant une variable donnée ou son complément. Il existe 2n2^n mintermes différents possibles.
    • Toute fonction booléenne ff peut s’écrire sous sa forme disjonctive. Celle-ci est son unique écriture sous forme d’une somme de mintermes.

    Forme disjonctive et table de vérité

    • Passage de la table de vérité à l’équation logique :
    • sur chaque ligne où la sortie est 11, nous effectuons le produit des valeurs de chaque variable de la ligne ;
    • puis nous effectuons la somme des produits obtenus.
    • Nous avons ainsi obtenu l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive.
    • Passage de l’équation logique à la table de vérité :
    • mettre l’équation logique sous sa forme canonique disjonctive ;
    • dans la table de vérité écrire S=1S=1 sur chaque ligne concernée par l’équation ;
    • et S=0S=0 sur les autres.