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Cours : Applications de la dérivation

Applications de la dérivation

Introduction :

Nous avons déjà parlé de dérivation dans un autre cours, avec notamment les nombres dérivés, les équations de tangentes ainsi que les formules de dérivées des fonctions usuelles.

Ici, nous allons continuer le travail en faisant tout d’abord le lien entre signe de la dérivée et variation de la fonction. Puis nous parlerons d’extremum pour terminer par deux études complètes de fonction.

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

Déduire du signe de la dérivée le sens de variation

bannière theoreme

Théorème

Sens de variation d’une fonction à partir de sa dérivée :

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

  • si $f'(x)\leq0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$;
  • si $f'(x)\geq0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est croissante sur $I$.
  • Ce théorème est utilisé pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle donné.

On peut décomposer encore un peu plus les deux points du théorème précédent de la manière suivante :

bannière propriete

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$:

  • si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
  • si $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
  • si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.

Déduire du sens de variation le signe de la dérivée

Le procédé contraire existe également, il permet de donner le signe de la dérivée quand on connaît les variations de la fonction.

bannière propriete

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$:

  • si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\geq0$ ;
  • si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\leq0$ ;
  • si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)=0$.

Interprétation graphique

Si $f$ est dérivable et croissante sur $I$ :

Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :

  • soit strictement positif ;
  • soit égal à $0$ (tangente horizontale).
bannière rappel

Rappel

Le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse $a$ est également le nombre dérivé en $a$.

On voit graphiquement que $f'(x)\ge0$ pour tout $x$ de $I$.

Si $f$ est dérivable et décroissante sur $I$ :

Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :

  • soit strictement négatif ;
  • soit égal à $0$ (tangente horizontale).

On voit graphiquement que $f'(x)\le0$ pour tout $x$ de $I$.

Extremum d’une fonction

Définition

bannière definition

Définition

Extremum d’une fonction :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un réel de cet intervalle :

  • $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\le f(a)$. Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$ ;
  • $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\ge f(a)$. Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

bannière exemple

Exemple

Avec la fonction $f$ définie sur $\big[-5\;;\;3\big]$ et représentée sur ce graphique :

  • Le maximum de $f$ sur $\big[-5\;;\;3\big]$ est $3$ ; il est atteint en $x=-5$
  • Le minimum de $f$ sur $\big[-5\;;\;3\big]$ est -2 ; il est atteint en $x=-3$
  • Le réel $1$ est un maximum local de $f$ car $1$ est le maximum de $f$ sur l’intervalle $\big]-2\;;\;0\big[$ par exemple.
  • Le réel $-1$ est un minimum local de $f$ car $-1$ est le minimum de $f$ sur l’intervalle $\big]0\;;\;2\big[$ par exemple.

Lien entre extremum et dérivation

  • Les trois cas possibles d’extremums :

Les trois cas possibles d’extremums

  • Si la dérivée s’annule et change de signe sur l’intervalle d’étude, alors la fonction admet nécessairement un extremum : il s’agit ici d’un maximum car la dérivée est d’abord positive puis négative (c’est-à-dire que la fonction est d’abord croissante puis décroissante).
  • Si la dérivée ne s’annule pas sur un intervalle, cela signifie que la fonction est soit strictement croissante soit strictement décroissante ; dans ce cas, l’extremum ne peut être atteint qu’en une borne de l’intervalle.
  • Si la dérivée s’annule mais ne change pas de signe sur l’intervalle donné, cela signifie que la fonction ne change pas de sens de variation ; dans ce cas, soit il n’y a pas d’extremum, soit l’extremum sera atteint en une borne de l’intervalle.

Exemples d’étude de fonction

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Astuce

Les étapes d’une étude de fonction sont les suivantes :

  • chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction ;
  • calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.
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Exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$.

  • On cherche d’abord l’ensemble de définition de $f$ :
  • il s’agit d’une fonction rationnelle, le dénominateur ne doit pas s’annuler ; la valeur interdite est donc $x=-3$.
  • L’ensemble de définition est : $\begin{aligned} D_f&=\big]-\infty\;;\; -3\big[\cup\big]-3\;;\; +\infty\big[\\ D_f&=\mathbb R\setminus\ \lbrace{-3 \rbrace} \end{aligned}$
  • Calculons maintenant la dérivée :
  • la fonction $f$ est de la forme $\dfrac uv$ avec :

$$u(x)=2x-1\text{ donc }u'(x)=2$$

$$v(x)=x+3\text{ donc }v'(x)=1$$

  • On a alors :

$\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\\&=\dfrac{2\times(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2}\\&=\dfrac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2}\\&=\dfrac{7}{(x+3)^2}\end{aligned}$

  • La dérivée est donc supérieure strictement à $0$ sur les deux intervalles de son ensemble de définition.

On peut alors construire le tableau suivant :

bannière attention

Attention

Il ne faut pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

La dérivée ne s’annulant sur aucun des deux intervalles, la fonction $f$ n’admet ni minimum ni maximum.

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À retenir

Lorsque la dérivée est positive la fonction est croissante et lorsque la dérivée est négative la fonction est décroissante.

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Exemple

Soit la fonction $g$ définie sur $\big[-5\ ;5\big]$ par $g(x)=\dfrac{4}{3}x^3+2x^2-8x-1$

  • Calculons maintenant la dérivée : $f'(x)=4x^2+4x-8$
  • On fait un tableau de signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variation de la fonction.
  • La dérivée étant un polynôme du second degré, nous allons calculer le discriminant :

$\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac\\&=4^2-4×4×(-8)\\&=16+128\\ \Delta&=144\\ \Delta&>0 \end{aligned}$

  • Le discriminant étant positif, le trinôme admet deux racines distinctes :

  • Le polynôme est du signe de $a$, c’est-à-dire positif à l’extérieur des racines ; la dérivée est donc positive sur $\big[-5\;;\; -2\big]\cup\big[1\;;\;5\big]$ et négative sur $\big[-2\;;\;1\big]$.
  • Il reste ensuite à calculer les extremums :

$\begin{aligned}f(-5)&=\dfrac{4}{3}\times(-5)^3+2\times(-5)^2-8\times(-5)-1\\&=-\dfrac{233}{3}\\&\approx-77,7\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(-2)&=\dfrac{4}{3}\times(-2)^3+2\times(-2)^2-8\times (-2)-1\\&=\dfrac{37}{3}\\&\approx12,3\end{aligned}$

$\begin{aligned}f(1)&=\dfrac{4}{3}\times1^3+2\times 1^2-8\times 1-1\\&=-\dfrac{17}{3}\\&\approx-5,7\end{aligned}$

$\begin{aligned} f(5)&=\dfrac{4}{3}\times5^3+2\times 5^2-8\times 5-1\\&=\dfrac{527}{3}\\&\approx175,7 \end{aligned}$

  • Le minimum de la fonction est $-\dfrac{233}{3}$ et il est atteint en $x=-5$.
  • Le maximum de la fonction est $\dfrac{527}{3}$ et il est atteint en $x=5$.