Fiche de révision : Calcul intégral

Intégrale d’une fonction continue positive

• Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.
• Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
• L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.
• Elle se note :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$

• On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.
• $a$ et $b$ sont appelés bornes de l’intégrale, ou bornes d’intégration, et $x$ est appelé la variable d’intégration (elle est muette).
• Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$.
• La primitive de $f$ qui s’annule en $a$ est la fonction $F_a$ définie sur $[a\ ;\,b]$ par :

$$F_a(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t) \text{d}t}$$

• Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[a\ ;\ b]$, alors :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$$

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

$f$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$.

• On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.
• Elle se note : $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$.
• Nous avons les propriétés suivantes :

• $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a < b$.
• Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$$

• Si $f(x)\leq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\leq0$$

• Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}\geq \displaystyle{\int_a^b g(x) \text{d}x}$$

• Intégration par parties : Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues et dérivables sur $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$. On suppose que les fonctions dérivées de $f$ et $g$ sont continues sur $[a\ ;\,b]$.
• Alors, on a :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x = \big[f(x)\times g(x)\big]_a^b - \int_a^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x}$$

Applications du calcul intégral

• Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $. Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$.

• Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x) $ pour tout $x$ de $I$, et si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a\leq b$.
• Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :

$$\displaystyle{\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x}$$

• Soit $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a<b$.
• On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :

$$\mu= \dfrac{1}{b-a} \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$