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Calcul intégral

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Intégrale d’une fonction continue positive

  • Dans un repère orthogonal (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), l’unité d’aire (notée u.a.\text{u.a.}) est l’aire du rectangle OIKJOIKJ, où KK est le point de coordonnées (1 ;1)(1\ ;\,1).
  • Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b, et C\mathscr C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
  • L’intégrale de aa à bb de ff est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine D\mathscr D délimité par la courbe C\mathscr C, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.
  • Elle se note : abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}.
  • On parle aussi d’aire sous la courbe C\mathscr C sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • aa et bb sont appelés bornes de l’intégrale, ou bornes d’intégration, et xx est appelé la variable d’intégration (elle est muette).
  • On a : aaf(x)dx=0\displaystyle{\int_a^a f(x) \text{d}x}=0 (intervalle de longueur nulle).
  • Relation de Chasles : pour tous les réels aa, bb et cc tels que acb,a\leq c\leq b, on a :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}=\displaystyle{\inta^c f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_c^b f(x) \text{d}x}

  • Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • La primitive de ff qui s’annule en aa est la fonction FaF_a définie sur [a ;b][a\ ;\,b] par :

Fa(x)=axf(t)dtFa(x) = \displaystyle{\inta^x f(t) \text{d}t}

  • Si la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}=\big[F(x)\big]a^b=F(b)-F(a)

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

ff est une fonction continue sur l’intervalle II, FF est une primitive de ff sur II et aa et bb sont deux réels quelconques de II.

  • On appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence F(b)F(a)F(b)-F(a).
  • Elle se note : abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}.
  • Nous avons les propriétés suivantes :

aaf(x)dx=0\displaystyle{\inta^a f(x) \text{d}x=0} aa et bb réels quelconques de II
baf(x)dx=abf(x)dx\displaystyle{\intb^a f(x) \text{d}x=-\inta^b f(x) \text{d}x}
abkf(x)dx=kabf(x)dx\displaystyle{\inta^b k f(x) \text{d}x=k\inta^b f(x) \text{d}x}
ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle{\inta^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x}=\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\inta^b g(x) \text{d}x}
abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x} aa, bb et cc réels de II tels que acba\leq c\leq b
  • aa et bb sont deux réels de II tels que a<ba < b.
  • Si f(x)0f(x)\geq0 pour tout xx de [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx0\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0

  • Si f(x)0f(x)\leq0 pour tout xx de [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx0\int_a^b f(x) \text{d}x\leq0

  • Si f(x)g(x)f(x)\geq g(x) pour tout xx de [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dxabg(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}\geq \displaystyle{\inta^b g(x) \text{d}x}

  • Intégration par parties : Soit ff et gg deux fonctions continues et dérivables sur [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b. On suppose que les fonctions dérivées de ff et gg sont continues sur [a ;b][a\ ;\,b].
  • Alors, on a :

abf(x)g(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)f(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x = \big[f(x)\times g(x)\big]a^b - \int_a^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x}

Applications du calcul intégral

  • Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b . Soit E\mathscr E la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe Cf\mathscr C_f représentant ff et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

Si f0 f\geq0 sur II, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)=\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}

Si f0f\leq0, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)=- \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}

  • Si ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle II telles que f(x)g(x)f(x)\leq g(x) pour tout xx de II, et si aa et bb sont deux réels de II tels que aba\leq b.
  • Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes Cf\mathscr Cf et Cg\mathscr Cg et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b est égale à :

ab(g(x)f(x))dx\displaystyle{\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x}

  • Soit ff est une fonction continue sur [a ;b][a\ ;\,b], avec aba \neq b et a<ba.
  • On appelle valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\ ;\ b] le réel :

μ=1baabf(x)dx\mu= \dfrac{1}{b-a} \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}