Calcul intégral
Intégrale d’une fonction continue positive
Intégrale d’une fonction continue positive
- Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.
- Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.
- Elle se note :
$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$
- On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.
- $a$ et $b$ sont appelés bornes de l’intégrale, ou bornes d’intégration, et $x$ est appelé la variable d’intégration (elle est muette).
- Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$.
- La primitive de $f$ qui s’annule en $a$ est la fonction $F_a$ définie sur $[a\ ;\,b]$ par :
$$F_a(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t) \text{d}t}$$
- Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[a\ ;\ b]$, alors :
$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$$
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
$f$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$.
- On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.
- Elle se note : $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$.
- Nous avons les propriétés suivantes :
| $\displaystyle{\int_a^a f(x) \text{d}x=0}$ | $a$ et $b$ réels quelconques de $I$ |
| $\displaystyle{\int_b^a f(x) \text{d}x=-\int_a^b f(x) \text{d}x}$ | |
| $\displaystyle{\int_a^b k f(x) \text{d}x=k\int_a^b f(x) \text{d}x}$ | |
| $\displaystyle{\int_a^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x}=\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_a^b g(x) \text{d}x}$ | |
| $\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x=\int_a^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x}$ | $a$, $b$ et $c$ réels de $I$ tels que $a\leq c\leq b$ |
- $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a < b$.
- Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :
$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$$
- Si $f(x)\leq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :
$$\int_a^b f(x) \text{d}x\leq0$$
- Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :
$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}\geq \displaystyle{\int_a^b g(x) \text{d}x}$$
- Intégration par parties : Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues et dérivables sur $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$. On suppose que les fonctions dérivées de $f$ et $g$ sont continues sur $[a\ ;\,b]$.
- Alors, on a :
$$\displaystyle{\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x = \big[f(x)\times g(x)\big]_a^b - \int_a^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x}$$
Applications du calcul intégral
Applications du calcul intégral
- Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $. Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$.
Si $ f\geq0$ sur $I$, alors :
$$\text{Aire}(\mathscr E)=\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}$$
Si $f\leq0$, alors :
$$\text{Aire}(\mathscr E)=- \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}$$
- Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x) $ pour tout $x$ de $I$, et si $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a\leq b$.
- Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :
$$\displaystyle{\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x}$$
- Soit $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a<b$.
- On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :
$$\mu= \dfrac{1}{b-a} \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$