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Calcul intégral

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La définition de l’intégrale s’appuie sur la notion intuitive d’aire rencontrée au collège. Les élèves développent une vision graphique de l’intégrale et maîtrisent le calcul approché, en liaison avec la méthode des rectangles et le calcul exact par les primitives.

On met en regard les écritures abf(x)dx\int{a}^b f(x)dx et i=1nf(xi)Δxi\textstyle\sum{i=1}^n f(xi)\Delta xi.

Contenus

  • Définition de l’intégrale d'une fonction continue positive définie sur un segment [𝑎,𝑏], comme aire sous la courbe représentative de ff. Notation abf(x)dx\int_{a}^b f(x)dx.
  • Théorème : si 𝑓 est une fonction continue positive sur [a,b][a, b], alors la fonction FaFa définie sur [a,b][a, b] par Fa(x)=axf(t)dtFa(x)=\int_{a}^x f(t)dt est la primitive de ff qui s’annule en aa.
  • Sous les hypothèses du théorème, relation abf(x)dx=F(bF(a)\int{a}^b f(x)dx=F(b-F(a)FF est une primitive quelconque de ff. Notation [F(x)]ab[F(x)]a^b.
  • Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
  • Définition par les primitives de abf(x)dx\int_{a}^b f(x)dx lorsque ff est une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle contenant aa et bb.
  • Linéarité, positivité et intégration des inégalités. Relation de Chasles.
  • Valeur moyenne d’une fonction.
  • Intégration par parties.

Capacités attendues

  • Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
  • Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive, à l’aide d’une intégration par parties.
  • Majorer (minorer) une intégrale à partir d'une majoration (minoration) d'une fonction par une autre fonction.
  • Calculer l’aire entre deux courbes.
  • Étudier une suite d’intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence.
  • Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

Démonstrations

  • Pour une fonction positive croissante ff sur [a,b][a, b], la fonction xaxf(t)dtx\mapsto \int{a}^x f(t)dt est une primitive de ff. Pour toute primitive FF de ff, relation abf(x)dx=F(b)F(a)\int{a}^b f(x)dx=F(b)-F(a).
  • Intégration par parties.