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Calcul intégral

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Introduction :

Dans ce cours, nous aborderons la notion de calcul intégral. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et permettra également, dans le supérieur, de déterminer des probabilités et des statistiques.

Intégrale d’une fonction continue positive

Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b.

Définitions et vocabulaire

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Définition

Unité d’aire :

Dans un repère orthogonal (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), l’unité d’aire (notée u.a.\text{u.a.}) est l’aire du rectangle OIKJOIKJ, où KK est le point de coordonnées (1 ;1)(1\ ;\,1).

Img-01

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.

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Exemple

L’aire du rectangle ABCDABCD sur l’image ci-dessus est de 4 u.a.4\ \text{u.a.}

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Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b, et C\mathscr C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’intégrale de aa à bb de ff est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine D\mathscr D délimité par la courbe C\mathscr C, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.

  • Elle se note ainsi :

abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}

  • On parle aussi d’aire sous la courbe C\mathscr C sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

aa et bb sont appelés bornes de l’intégrale, ou bornes d’intégration, et xx est appelé la variable d’intégration (elle est muette).

Img-02

bannière astuce

Astuce

On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur [a ;b][a\ ;\,b], abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x} est un nombre réel positif ou nul.

Si ff est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.

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Propriété

  • On a : aaf(x)dx=0\displaystyle{\int_a^a f(x) \text{d}x}=0 (intervalle de longueur nulle).
  • Relation de Chasles, ou additivité des aires : pour tous les réels aa, bb et cc tels que acb,a≤c≤b, on a :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}=\displaystyle{\inta^c f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_c^b f(x) \text{d}x}

Img-03

bannière exemple

Exemple

Soit ff une fonction continue sur R\mathbb{R}.
On donne :

  • 12f(x)dx=3\displaystyle{\int_{1}^2 f(x)\text d x}=3
  • 41f(x)dx=5\displaystyle{\int_{-4 }^1 f(x) \text{d}x}=5
  • Alors :

42f(x)dx=41f(x)dx+12f(x)dx=5+3=8\begin{aligned} \displaystyle{\int{-4}^2 f(x) \text{d}x}&=\displaystyle{\int{-4}^1 f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_1^2 f(x)\text{d}x} \ &=5+3 \ &=8 \end{aligned}

Calcul d’intégrale d’une fonction continue positive

Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.

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Propriété

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

  • La fonction FaFa définie sur [a ;b][a\ ;\,b] par Fa(x)=axf(t)dtFa(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t) \text{d}t} est la primitive de ff qui s’annule en aa.
  • Si la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=F(b)-F(a)

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Astuce

Nous pouvons aussi noter ainsi :

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\begin{aligned} \displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}&=\big[F(x)\big]a^b \ &=F(b)-F(a) \end{aligned}

Cette propriété nous dit que la quantité F(b)F(a)F(b)-F(a) ne dépend pas de la primitive choisie. C’est-à-dire que, si GG est une autre primitive de ff, alors on a :

F(b)F(a)=G(b)G(a)[car, pour tout x[a ;b]G(x)=F(x)+c, avec cR]\begin{aligned} F(b)-F(a)&=G(b)-G(a) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car, pour tout $x\in [a\ ;\,b]$, $G(x)=F(x)+c$, avec $c \in \mathbb R]$}}} \end{aligned}

Démontrons dans un premier temps que la fonction FaF_a définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction ff qui s’annule en aa.

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Démonstration

  • On considère :
  • une fonction ff positive et croissante sur [a ;b][a\ ;\,b],
  • une fonction :

Fa:[a ;b]Rxaxf(t)dt\begin{aligned} Fa\,:\,[a\ ;\,b] &\to \mathbb{R} \ x&\mapsto \inta^x f(t) \text{d}t \end{aligned}

  • Fa(x)F_a(x) est l’aire de la surface grisée ci-dessous.

Img-04

  • On calcule le taux de variation de FaF_a en xx dans le cas où hh est un réel strictement positif (avec x+hbx + h \leq b).

Img-05

ff est croissante sur [x ;x+h][x\ ;\,x+h], on constate sur l’image que l’aire qui représente Fa(x+h)Fa(x)Fa(x+h)-Fa(x) est comprise entre les aires de deux rectangles de largeur hh, et de hauteur respective f(x)f(x) et f(x+h)f(x+h), donc :

h×f(x)Fa(x+h)Fa(x)h×f(x+h)f(x)Fa(x+h)Fa(x)hf(x+h) ineˊgaliteˊ (1)\begin{aligned} h \times f(x) &\leq Fa(x+h) - Fa(x) \leq h \times f(x + h) \ \ \textcolor{#BF1280}{\text{f(x)f(x)}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x + h) \longrightarrow$ inégalité $(1)$}} \end{aligned}

  • On calcule le taux de variation de FaF_a en xx dans le cas où hh est un réel strictement négatif (avec ax+ha \leq x + h).

Img-06

ff est croissante sur [x+h ;x][x+h\ ;\,x], on constate sur l’image que l’aire qui représente Fa(x)Fa(x+h)Fa(x)-Fa(x+h) est comprise entre les aires de deux rectangles de largeur hh, et de hauteur respective f(x+h)f(x+h) et $f(x)$, donc :

h×f(x+h)Fa(x)Fa(x+h)h×f(x)f(x+h)Fa(x)Fa(x+h)hf(x)[ici, le sens des ineˊgaliteˊs ne changent pas car h est un nombre positif]f(x+h)Fa(x+h)Fa(x)hf(x) ineˊgaliteˊ (2)\begin{aligned} -h \times f(x+h) &\leq Fa(x) - Fa(x+h) \leq -h \times f(x)\ \ f(x+h) &\leq \dfrac{Fa(x) - Fa(x+h)}{-h} \leq f(x)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[ici, le sens des inégal}}} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ités ne changent pas car $-h$ est un nombre positif]}}}\ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x+h)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x) \longrightarrow$ inégalité $(2)$}} \end{aligned}

  • On en déduit la dérivée de Fa(x)F_a(x) lorsque hh tend vers 00 :
  • ff est continue sur [a ; b][a\ ;\ b], donc limh0f(x+h)=f(x)\lim\limits_{h \to 0} f(x+h) = f(x).
  • Ainsi, d’après les ineˊgaliteˊ(1) et (2)\textcolor{#BF1280}{\text{inégalités $(1)$ et $(2)$}}, en passant à la limite quand hh tend vers 00, on obtient, par le théorème des gendarmes :

limh0Fa(x+h)Fa(x)h=f(x)Fa(x)=f(x) pour x[a ; b][d’apreˋs la deˊfinition du nombre deˊriveˊ]\begin{aligned} \lim\limits{h \to 0} \dfrac{Fa(x+h) - Fa(x)}{h} &= f(x)\ Fa^{\prime}(x) &= f(x)\ \text{pour}\ x \in [a\ ;\ b] \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la définition du nombre dérivé]}}}\ \end{aligned}

  • Par définition, la fonction FaF_a est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b], et elle s’annule en aa car :

Fa(a)=aaf(t)dt=0Fa(a) = \displaystyle{\inta^a f(t) \text{d}t} = 0

  • Ainsi :

La fonction xFa(x)=axf(t)dtx\mapsto Fa(x) = \displaystyle{\inta^x f(t) \text{d}t} est la primitive de la fonction ff sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b] qui s’annule en aa.

Démontrons maintenant que si la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x=F(b)-F(a)}

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Démonstration

  • Posons l’écriture des primitives de ff.

On sait que la fonction FaF_a une primitive de ff sur [a ;b][a\ ;\,b], d’après la démonstration précédente.

On a donc la fonction xaxf(t)dtx\mapsto \displaystyle{\int_a^x f(t) \text{d}t} qui est une primitive de ff sur [a ;b][a\ ;\,b].

Pour tout xx dans [a ;b][a\ ;\,b], F(x)=axf(t)dt+cF(x) = \displaystyle{\int_a^x f(t) \text{d}t + c}, avec cc un réel, est donc une primitive de ff sur [a ;b][a\ ;\,b] (car deux primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante).

  • On calcule F(b)F(a)F(b) - F(a) :

F(b)F(a)=abf(t)dt+c(aaf(t)dt+c)=abf(t)dt+cc=abf(t)dt=abf(x)dx[la variable est muette, donc on peut la changer par n’importe quelle autre variable]\begin{aligned} F(b) - F(a) &= \displaystyle{\inta^b f(t) \text{d}t} + c - \left( \displaystyle{\inta^a f(t) \text{d}t} + c \right)\ &= \displaystyle{\inta^b f(t) \text{d}t} + c - c\ &= \displaystyle{\inta^b f(t) \text{d}t}\ &= \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[la variable est muette, donc on peut la changer }}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{par n’importe quelle autre variable]}}} \end{aligned}

  • La variable est muette, nous avons :

F(b)F(a)=abf(x)dxF(b) - F(a)= \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}

  • Si la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=F(b)-F(a)

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Exemple

Calculons l’intégrale :

13(4x2+3x)dx\displaystyle{\int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x}

  • La fonction f:x4x2+3xf\,:\,x \mapsto 4x^2+3x est continue et positive sur l’intervalle [1 ;3][1\ ;\,3], donc son intégrale existe d’après ce qui précède.
  • Soit FF une primitive de ff.
  • On a alors, pour tout x[1 ;3]x \in [1\ ;\,3] :

F(x)=43x3+32x2F(x)=\dfrac{4}{3} x^3+\dfrac{3}{2} x^2

  • On calcule maintenant l’intégrale :

13(4x2+3x)dx=F(3)F(1)=(43×33+32×32)(43×13+32×12)=(36+272)(43+32)=36+2724332=2166+8168696=2806=1403 u.a.\begin{aligned} \displaystyle{\int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x}&=F(3)-F(1)\ &=\left( \dfrac{4}{3}×3^3+\dfrac{3}{2}×3^2 \right)-\left( \dfrac{4}{3}×1^3+\dfrac{3}{2}×1^2 \right) \ &=\left( 36+\dfrac{27}{2} \right)- \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2} \right) \ &=36+\dfrac {27}{2}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{2} \ &=\dfrac{216}{6}+\dfrac{81}{6}-\dfrac{8}{6}-\dfrac{9}{6} \ &=\dfrac{280}{6} \ &=\dfrac{140}{3}\ \text{u.a.} \end{aligned}

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b] avec a<ba < b, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.

Définition

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Définition

Intégrale d’une fonction continue :

Si ff est une fonction continue sur l’intervalle II, si FF est une primitive de ff sur II et si aa et bb sont deux réels quelconques de II, alors on appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence F(b)F(a)F(b)-F(a).

  • Cette intégrale est toujours notée :

abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}

Propriétés

Nous allons ici donner quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.

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Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, aa et bb deux réels quelconques de II et kk un réel. On a les propriétés suivantes :

  • aaf(x)dx=0\displaystyle{\int_a^a f(x) \text{d}x=0} ;
  • baf(x)dx=abf(x)dx\displaystyle{\intb^a f(x) \text{d}x=-\inta^b f(x) \text{d}x} ;
  • abkf(x)dx=kabf(x)dx\displaystyle{\inta^b k f(x) \text{d}x=k\inta^b f(x) \text{d}x} ;
  • linéarité :

ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle{\inta^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x}=\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_a^b g(x) \text{d}x}

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À retenir

  • Relation de Chasles :

Pour tous réels aa, bb et cc tels que acba\leq c\leq b :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x}

cc peut ne pas appartenir à l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

  • Dans le cas où cc appartient à [a ;b][a\ ;\,b], on comprend mieux cette relation du point de vue des aires.
  • Positivité de l’intégrale :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b.

  • Si f(x)0f(x)\geq0 pour tout xx de [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx0\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0

  • Attention, la réciproque n’est pas vraie en général.
  • Si f(x)0f(x)\leq0 pour tout xx de [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx0\int_a^b f(x) \text{d}x\leq0

  • Là non plus, la réciproque n’est pas vraie en général.
  • Ordre :

Si f(x)g(x)f(x)\geq g(x) pour tout xx de [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dxabg(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) \text{d}x}\geq \displaystyle{\inta^b g(x) \text{d}x}

Exemple

Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.

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Exemple

Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :

I=01exex+2dxJ=012ex+2dx\begin{aligned} I&=\displaystyle{\int0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x} \ J&=\displaystyle{\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x} \end{aligned}

bannière attention

Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale JJ, puisqu’il est impossible de calculer une primitive de x2ex+2x\mapsto \frac{2}{e^x+2} avec les formules classiques.

  • Nous allons donc calculer II, puis I+JI+J, pour en déduire JJ.
  • Calculons l’intégrale II.

Soit ff la fonction définie sur [0 ;1][0\ ;\,1] par :

f(x)=exex+2f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}

ff est de la forme uu\frac{u^{\prime}}{u}, où u(x)=ex+2u(x) = \text{e}^x + 2 (qui est strictement positif pour tout x[0 ;1]x\in [0\ ;\,1]).
Donc une primitive FF de ff sera de la forme ln(u)\ln{(u)} :

F(x)=ln(ex+2)F(x)= \ln{(\text{e}^x + 2)}

  • Nous pouvons ainsi calculer II :

I=01exex+2dx=F(1)F(0)=ln(e1+2)ln(e0+2)=ln(e+2)ln(3) [car e0=1]\begin{aligned} I& =\displaystyle{\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}\text{d}x}\ &=F(1)-F(0)\ &=\ln {(\text{e}^1+2)}-\ln {(\text{e}^0+2)} \ &= \ln {(\text{e}+2)} - \ln {(3)}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text{e}^0=1$]}}} \end{aligned}

  • Calculons l’intégrale I+JI+J.

Nous avons :

I+J=01exex+2dx+012ex+2dx=01(exex+2+2ex+2)dx[d’apreˋs la proprieˊteˊ de lineˊariteˊ]=01ex+2ex+2dx=011dx=G(1)G(0) [en prenant G(x)=x]=10=1\begin{aligned} I+J&=\displaystyle{\int0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x +\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x} \ &=\displaystyle{\int0^1 \left( \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}+ \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \right) \text{d}x}\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la propriété de linéarité]}}} \ &=\displaystyle {\int0^1 \dfrac{\text{e}^x+2}{\text{e}^x+2} \text{d}x} \ &=\displaystyle{\int_0^1 1 \text{d}x}\ &=G(1)-G(0)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en prenant $G(x)=x$]}}}\ &=1-0\ &=1 \end{aligned}

  • On a donc : I+J=1I+J=1.
  • Trouvons maintenant la valeur de l’intégrale JJ.

On a I+J=1I+J=1.

  • On en déduit la valeur de l’intégrale JJ :

J=1I=1(ln(e+2)ln(3))=1ln(e+2)+ln(3)\begin{aligned}J&=1-I\ &=1-\big(\ln {(\text{e}+2)} -\ln {(3)}\big)\ &=1- \ln {(\text{e}+2)} +\ln {(3)} \end{aligned}

Applications du calcul intégral

Nous savons maintenant comment calculer une intégrale.
Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

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Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b .

Soit E\mathscr E la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe Cf\mathscr C_f représentant ff et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

  • Si f0 f\geq0 sur II, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)=\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}

  • Si f0f\leq0, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)=- \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}}

Img-07

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle [a ;c][a\ ;\,c], la fonction ff est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses).

  • L’aire A1A_1 sera donc égale à :

acf(x)dx\displaystyle{\int_a^c f(x) \text{d}x}

En revanche, sur l’intervalle [c ;b][c\ ;\,b], la fonction ff est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

  • L’aire A2A_2 sera donc égale à :

cbf(x)dx-\displaystyle{\int_c^b f(x) \text{d}x}

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Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

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Propriété

Si ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle II telles que f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur II, et si aa et bb sont deux réels de II tels que aba\leq b.

  • Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes Cf\mathscr Cf et Cg\mathscr Cg et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b est égale à :

ab(g(x)f(x))dx\displaystyle{\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x}

Img-08

Valeur moyenne d’une fonction

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Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si ff est une fonction continue sur [a ;b][a\ ;\,b], avec aba \neq b et a<ba, on appelle valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\ ;\ b] le réel μ=1baabf(x)dx\mu= \dfrac{1}{b-a} \displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}.

Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.

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Exemple

Img-09

Ici, la fonction ff est positive sur [a ;b][a\ ;\,b], on interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de ff est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à μ\mu.

  • Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire hachurée en bleu.

Intégration par parties

De même que la dérivée d’un produit n’est pas égale au produit des dérivées, la primitive d’un produit n’est pas égale au produit des primitives.
Nous allons ainsi voir un théorème puissant, qui permet de calculer des intégrales plus complexes que nous n’aurions pas pu calculer sans, car nous ne sommes pas en mesure de trouver simplement une primitive de la fonction à intégrer.
Après l’avoir exprimé et démontré, nous donnerons trois exemples d’application.

Théorème

bannière theoreme

Théorème

Soit ff et gg deux fonctions continues et dérivables sur [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b.
On suppose que les fonctions dérivées de ff et gg sont continues sur [a ;b][a\ ;\,b].

  • Alors, on a :

abf(x)g(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)f(x)dx\displaystyle{\inta^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x = \big[f(x)\times g(x)\big]a^b - \int_a^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x}

Démontrons-le.

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Démonstration

Soit ff et gg deux fonctions continues et dérivables sur [a ; b][a\ ;\ b].
On suppose que les fonctions dérivées de ff et gg sont continues sur [a ; b][a\ ;\ b].

  • On a :

(f×g)=g×f+f×g(f\times g)^{\prime} = g \times f^{\prime} + f \times g^{\prime}

  • On en déduit :

f×g=(f×g)g×ff \times g^{\prime}=(f\times g)^{\prime} - g \times f^{\prime}

  • En intégrant la relation sur l’intervalle [a ; b][a\ ;\ b], on obtient :

abf(x)×g(x)dx=ab(f×g)(x)dxabg(x)×f(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)×f(x)dx\begin{aligned} \displaystyle{\inta^b f(x) \times g^{\prime}(x) \text{d}x} &= \displaystyle{\inta^b (f \times g)^{\prime}(x) \text{d}x - \inta^b g(x) \times f^{\prime}(x) \text{d}x} \ &= \big[f(x) \times g(x)\big]a^b - \displaystyle{\int_a^b g(x) \times f^{\prime}(x) \text{d}x} \end{aligned}

  • On a donc :

abf(x)×g(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)×f(x)dx\boxed{\displaystyle{\inta^b f(x) \times g^{\prime}(x) \text{d}x = \big[f(x) \times g(x)\big]a^b - \int_a^b g(x) \times f^{\prime}(x) \text{d}x}}

Exemples

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Exemple

Exemple 1
Calculons à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale :

02xe2xdx\displaystyle{\int_0^2 x \text{e}^{2x} \text{d}x}

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Attention

Dans la formule de l’intégration par parties où la fonction à intégrer est un produit de fonctions, on « intègre » une fonction et on dérive l’autre.
Il s’agit donc de bien les choisir pour « ne pas tourner en rond » dans les calculs.

  • Ici, on doit choisir de dériver xxx \mapsto x pour la faire devenir une fonction constante et « intégrer » xe2xx\mapsto \text{e}^{2x} car cela ne présente pas de difficultés.
  • On pose :
  • f(x)=xf(x) = x,
  • ce qui donne : f(x)=1f^\prime(x) = 1.
  • g(x)=e2xg^{\prime}(x) = \text{e}^{2x},
  • ce qui donne : g(x)=e2x2g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{2}.

Les fonctions ff et gg sont bien dérivables et de fonctions dérivées continues sur [0 ; 2][0\ ;\ 2].

  • D’après la formule de l’intégration par parties, on a :

abf(x)g(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)f(x)dx02xe2xdx=[x×e2x2]0202e2x2dx=2×e420×e02[e2x4]02=e4(e44e04)=e4e44+14=3e44+14=3e4+14\begin{aligned} \displaystyle{\inta^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x} &= \big[f(x)\times g(x)\big]a^b - \displaystyle{\inta^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x} \ \Leftrightarrow \displaystyle{\int0^2 x \text{e}^{2x} \text{d}x} &= \left[ x \times \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} \right]0^2 - \displaystyle{\int0^2 \dfrac{\text{e}^{2x}}{2} \text{d}x} \ &= 2\times \dfrac{\text{e}^4}{2} - 0\times \dfrac{\text{e}^0}{2} - \left[\dfrac{\text{e}^{2x}}{4} \right]_0^2\ &= \text{e}^4 - \left( \dfrac{\text{e}^4}{4} - \dfrac{\text{e}^0}{4} \right)\ &= \text{e}^4 - \dfrac{\text{e}^4}{4} + \dfrac{1}{4}\ &= \dfrac{3\text{e}^4}{4} + \dfrac{1}{4}\ &= \dfrac{3\text{e}^4 + 1}{4} \end{aligned}

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Exemple

Exemple 2
Montrons à l’aide d’une intégration par parties que :

1eln(x)x2dx=12e\displaystyle{\int_1^\text{e} \dfrac{\ln{(x)}}{x^2} \text{d}x = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}}

Dans la formule de l’intégration par parties, une fonction est à « intégrer » et une autre à dériver.

  • Ici, on doit choisir d’intégrer x1x2x \mapsto \frac{1}{x^2}, car nous connaissons une primitive qui est x1xx\mapsto -\frac{1}{x}, et de dériver xln(x)x\mapsto \ln{(x)}, car nous ne savons pas l’« intégrer ».
  • On pose :
  • f(x)=ln(x)f(x) = \ln{(x)},
  • ce qui donne : f(x)=1xf^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}.
  • g(x)=1x2g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2},
  • ce qui donne : g(x)=1xg(x) = -\dfrac{1}{x}.

Les fonctions ff et gg sont bien dérivables et de fonctions dérivées continues sur [1 ;e][1\ ;\,\text{e}].

  • D’après la formule de l’intégration par parties, on a :

abf(x)g(x)dx=[f(x)×g(x)]ababg(x)f(x)dx1eln(x)x2dx=[ln(x)x]1e1e1x2dx=ln(e)e+ln(1)1[1x]1e=1e(1e11) [car ln(e)=1 et ln(1)=0]=1e1e+1=12e\begin{aligned} \displaystyle{\inta^b f(x) g^{\prime}(x) \text{d}x} &= \big[f(x)\times g(x)\big]a^b - \displaystyle{\inta^b g(x) f^{\prime}(x) \text{d}x}\ \Leftrightarrow \displaystyle{\int1^\text{e} \dfrac{\ln{(x)}}{x^2} \text{d}x} &= \left[ -\dfrac{\ln{(x)}}{x} \right]1^\text{e} - \displaystyle{\int1^\text{e} -\dfrac{1}{x^2} \text{d}x} \ &= -\dfrac{\ln{(\text{e})}}{\text{e}} + \dfrac{\ln{(1)}}{1} - \left[\dfrac{1}{x} \right]_1^\text{e} \ &= -\dfrac{1}{\text{e}} - \left( \dfrac{1}{\text{e}} - \dfrac{1}{1} \right)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln{(\text e)}=1$ et $\ln{(1)}=0$]}}}\ &= -\dfrac{1}{\text{e}} - \dfrac{1}{\text{e}} +1\ &= 1 - \dfrac{2}{\text{e}} \end{aligned}

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Exemple

Exemple 3
Calculons à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale :

1eln(x)dx\displaystyle{\int_1^\text{e} \ln{(x)} \text{d}x}

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Astuce

Dans la formule de l’intégration par parties, une fonction est à « intégrer » et une autre à dériver.

  • Lorsqu’on ne voit pas de produit, il faut introduire un 11 devant l’expression pour en avoir un.
  • Ici, on introduit un 11 devant ln(x)\ln{(x)}. On doit choisir d’intégrer x1x \mapsto 1, car nous connaissons une primitive qui est xxx\mapsto x, et de dériver xln(x)x\mapsto \ln{(x)}, car nous ne savons pas l’« intégrer ».
  • On pose :
  • f(x)=ln(x)f(x) = \ln{(x)},
  • ce qui donne f(x)=1xf^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}.
  • g(x)=1g^{\prime}(x) = 1