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Calcul intégral
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Pour retrouver le cours correspondant de l’option « Mathématiques complémentaires » :
Introduction :
Dans ce cours de la spécialité « Mathématiques », nous allons aborder la notion de calcul intégral. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et permettra également, dans le supérieur, de déterminer des probabilités et des statistiques.
Intégrale d’une fonction continue positive
Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle.
Définitions et vocabulaire
Unité d’aire :
Dans un repère orthogonal , l’unité d’aire (notée ) est l’aire du rectangle , où est le point de coordonnées .
À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.
L’aire du rectangle sur l’image ci-dessus est de
Intégrale d’une fonction positive :
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle , avec , et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de à de est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation et .
On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur , est un nombre réel positif ou nul.
Précisons aussi que, dans la notation donnée :
Si est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.
est une fonction continue et positive sur un intervalle .
, et sont des réels de .
Soit une fonction continue sur . On donne :
Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive
Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle .
Nous pouvons aussi noter :
Cette propriété nous dit que la quantité ne dépend pas de la primitive choisie. C’est-à-dire que, si est une autre primitive de , alors on a :
Démontrons dans un premier temps que la fonction définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction qui s’annule en .
est croissante sur , on constate sur l’image que l’aire qui représente est comprise entre deux rectangles de largeur , et chacun de hauteur respective et , donc :
Démontrons maintenant que si la fonction
On sait que la fonction
On a donc la fonction
Pour tout
Calculons l’intégrale :
On pose, pour tout
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Définition
Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.
Intégrale d’une fonction continue :
Si
Propriétés
Donnons quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.
Soit
Pour tous réels
Exemple
Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.
Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :
On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale
Soit
Nous avons :
On a
Applications du calcul intégral
Nous savons maintenant comment calculer une intégrale.
Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.
Calculer une aire à l’aide d’une intégrale
Soit
Soit
Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle
En revanche, sur l’intervalle
On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.
Si
Valeur moyenne d’une fonction
Valeur moyenne d’une fonction :
Si
Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.
Ici, la fonction
Intégration par parties
De même que la dérivée d’un produit n’est pas égale au produit des dérivées, la primitive d’un produit n’est pas égale au produit des primitives.
Nous allons ainsi voir un théorème puissant, qui permet de calculer des intégrales plus complexes que nous n’aurions pas pu calculer sans, car nous ne sommes pas en mesure de trouver simplement une primitive de la fonction à intégrer.
Après l’avoir exprimé et démontré, nous donnerons trois exemples d’application.
Théorème
Soit
On suppose que les fonctions dérivées de
Démontrons-le.
Soit
On suppose que les fonctions dérivées de
Exemples
Exemple 1
Calculons à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale :
Dans la formule de l’intégration par parties où la fonction à intégrer est un produit de fonctions, on « intègre » une fonction et on dérive l’autre.
Il s’agit donc de bien les choisir pour « ne pas tourner en rond » dans les calculs.
Les fonctions
Exemple 2
Montrons à l’aide d’une intégration par parties que :
Dans la formule de l’intégration par parties, une fonction est à « intégrer » et une autre à dériver.
Les fonctions
Exemple 3
Calculons à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale :
Dans la formule de l’intégration par parties, une fonction est à « intégrer » et une autre à dériver.
Les fonctions
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons commencé par définir l’intégrale de
Nous avons ensuite défini cette intégrale lorsque
Puis nous avons vu les propriétés que vérifient cette intégrale et avons défini la valeur moyenne d’une fonction continue
Enfin, nous avons donné la formule de l’intégration par parties qui permet de calculer des intégrales plus complexes.