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Calculer le perimètre et l'aire d'un rectangle, d'un carré et d'un cercle

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Introduction :

Dans cette leçon, nous allons aborder la notion de longueur et de périmètre en précisant les formules pour chacun.

Nous allons par la suite définir l’aire d’une figure puis déterminer les formules de chacune des figures géométriques en nous intéressant à certains cas particuliers.

Longueur et périmètre

Longueur entre deux points : le segment

calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

Le trajet le plus court pour aller de la maison au puits est d’aller tout droit sans passer par l’arbre.
En remplaçant ces objets par des lettres, on obtient ceci :

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La maison est devenue le point AA, le puits le point BB et l’arbre le point CC.
La longueur entre 22 points est un segment. C’est ce dernier que l’on mesure.

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Attention

On ne peut pas mesurer la longueur d’une droite car, par définition, celle-ci se prolonge à l’infini. Elle n’a pas de fin, elle ne peut donc pas être mesurée.

Mesure d’un trajet ou d’un périmètre

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Définition

Périmètre :

Le périmètre correspond à la longueur du tour d’une figure.

Pour mesurer un trajet ou le périmètre d’une figure, on additionne la mesure de chacun des segments qui compose le trajet ou le périmètre.

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Pour calculer le périmètre PP, on fera donc :

P=AC+AB+BCP=3+5+4P=12 cm\begin {aligned} P &= AC + AB + BC \ P &= 3 + 5 + 4 \ P &= 12\ \text{cm} \end{aligned}

Pour mesurer la longueur d’un cercle ou d’un disque, on utilise une formule qui a pour principe de mettre à plat la ligne définissant le cercle. La formule est la suivante : 2πr2\pi r

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Rappels

Figure Périmètre
Carré 4×c4\times c
Rectangle (L+l)×2(L+l) \times 2
Triangle a+b+ca+b+c
Disque 2πr2 \pi r

Distance entre un point et une droite

On appelle AHAH la distance d’un point AA à une droite Δ\Delta, HH étant le projeté orthogonal de AA sur la droite Δ\Delta.

Le projeté orthogonal d’un point AA sur une droite Δ\Delta se situe à l’intersection de la droite perpendiculaire à Δ\Delta passant par AA et de la droite Δ\Delta.

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Les aires

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Définition

Aire :

L’aire correspond à la surface d’une figure.

Quand on cherche à calculer la surface qu’occupe un objet on calcule son aire.

Il y a plusieurs méthodes pour calculer l’aire.

Méthode avec les carrés à compter

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Ce rectangle occupe une surface de 1212 carrés. Il possède une aire de 1212.

Il existe une autre méthode pour calculer une aire : en fonction de la figure, on applique une formule spécifique.

L’aire d’un rectangle

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À retenir

Pour calculer l’aire d’un rectangle, la formule est la suivante :

Ar=L×lA_r = L \times l

ArA_r représente la valeur de l’aire du rectangle, LL sa longueur et ll sa largeur.

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Rappel

La longueur d’une figure correspond à la mesure de son plus grand côté et la largeur à la mesure de son petit côté.

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Attention

Attention à toujours multiplier les longueurs dans la même unité.

Ces unités étant multipliées par elles-mêmes, on obtiendra des unités d’aire au carré. Ainsi :

  • avec des longueurs exprimées en cm, on trouvera une aire exprimée en cm2 ;
  • avec des longueurs exprimées en m, on trouvera une aire exprimée en m2 ;
  • etc.

L’aire d’un carré

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À retenir

Le carré est un rectangle particulier. On peut donc calculer l’aire d'un carré de la même façon que celle d’un rectangle :

Ac=L×lA_c = L \times l

Mais dans un carré, la longueur est égale à la largeur. Donc pour calculer l’aire d'un carré, la formule est :

Ac=l×lAc = l \times l Ac=l2Ac= l^2

aire d'un carré calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

L’aire d’un parallélogramme

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À retenir

Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on utilise la formule : Ap=L×hA_p= L \times h

ApA_p représente l’aire du parallélogramme, LL sa longueur et hh sa hauteur.

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Astuce

Calculer l’aire d’un parallélogramme revient en fait à calculer l’aire d’un rectangle ayant pour longueur la longueur du parallélogramme et pour largeur sa hauteur.

aire d’un parallélogramme calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

On peut visualiser l’aire avec des cubes comme ci-dessous.

aire d’un parallélogramme calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

L’aire d’un triangle

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À retenir

Calculer l’aire d’un triangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme ayant pour longueur la base du triangle et pour hauteur la hauteur du triangle issue du sommet opposé à la base prise en référence. La formule est donc :

At=b×h2A_t=\dfrac{b \times h}{2}

AtA_t représente l’aire du triangle, bb sa base et hh la hauteur correspondante.

aire d’un triangle calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

Cas particulier : l’aire d’un triangle rectangle

Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme, mais dans ce cas, ce parallélogramme aura un angle droit : celui du triangle rectangle. Or un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.

aire d’un triangle rectangle calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

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À retenir

Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient donc à calculer la moitié de l’aire d’un rectangle ayant pour longueur le grand côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera cc) et pour largeur le petit côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera aa). La formule est donc :

Atr=a×c2A_{tr}= \dfrac{a \times c}{2}

AtrA_{tr} représente l’aire du triangle rectangle, cc son grand côté adjacent à l’angle droit et aa son petit côté adjacent à l’angle droit.

aire d’un triangle rectangle calculer des périmètres et des aires mathématiques cinquième

L’aire d’un trapèze

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À retenir

Calculer l’aire d’un trapèze revient à ajouter la moitié des aires des rectangles ayant pour longueurs respectives la petite base bb et la grande base BB du trapèze et pour largeur la hauteur du trapèze.
Atra=b×h2+B×h2=12×(b×h)+12×(B×h)A_{tra}=\dfrac{b \times h}{2} +\dfrac{B \times h}{2}=\dfrac{1}{2} \times (b \times h)+ \dfrac{1}{2} \times (B \times h)

On factorise par 12\dfrac{1}{2} :

12×[(b×h)+(B×h)]\dfrac{1}{2} \times [(b \times h)+ (B \times h)]

Puis on factorise par hh :
Atra=12×h×(b+B)A_{tra}=\dfrac{1}{2} \times h \times (b +B)

AtraA_{tra} représente l’aire du trapèze, hh sa hauteur, bb sa petite base et BB sa grande base.

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L’aire d’un disque

On ne peut expliquer la formule permettant de trouver l’aire d'un disque avec les outils mathématiques que l’on possède au collège.

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À retenir

La formule est la suivante :

Ad=π×r2A_d= \pi \times r^2

AdA_d représente l’aire du disque et rr son rayon.

Alt texte

Rappels

Figure Aire
Rectangle Ar=L×lAr=L\times l
Carré Ac=l2Ac=l^2
Parallélogramme Ap=L×hAp=L \times h
Triangle At=b×h2At=\dfrac{b \times h}{2}
Trapèze Atra=12×h×(b+B)A{tra}=\dfrac{1}{2} \times h \times (b + B)
Cercle Ad=π×r2Ad= \pi \times r^2

Conclusion :

Dans ce cours, on a donc appris ce qu’étaient la longueur et l’aire d’une figure ainsi que les formules pour les calculer.

On retiendra principalement que pour calculer l’aire d’une figure, on multiplie la longueur de cette figure par sa hauteur. Cependant, dans le cas des triangles, on ne prend que la moitié de cette valeur.

Le trapèze et le cercle nécessitent, quant à eux, une formule plus spécifique.