Calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle, d'un carré et d'un cercle
Introduction :
Dans cette leçon, nous allons aborder la notion de longueur et de périmètre en précisant les formules pour chacun.
Nous allons par la suite définir l’aire d’une figure puis déterminer les formules de chacune des figures géométriques en nous intéressant à certains cas particuliers.
Longueur et périmètre
Longueur et périmètre
Longueur entre deux points : le segment
Longueur entre deux points : le segment
Le trajet le plus court pour aller de la maison au puits est d’aller tout droit sans passer par l’arbre.
En remplaçant ces objets par des lettres, on obtient ceci :
La maison est devenue le point $A$, le puits le point $B$ et l’arbre le point $C$.
La longueur entre $2$ points est un segment. C’est ce dernier que l’on mesure.
Attention
On ne peut pas mesurer la longueur d’une droite car, par définition, celle-ci se prolonge à l’infini. Elle n’a pas de fin, elle ne peut donc pas être mesurée.
Mesure d’un trajet ou d’un périmètre
Mesure d’un trajet ou d’un périmètre
Définition
Périmètre :
Le périmètre correspond à la longueur du tour d’une figure.
Pour mesurer un trajet ou le périmètre d’une figure, on additionne la mesure de chacun des segments qui compose le trajet ou le périmètre.
Pour calculer le périmètre $P$, on fera donc :
$\begin {aligned} P &= AC + AB + BC \\ P &= 3 + 5 + 4 \\ P &= 12\ \text{cm} \end{aligned}$
Pour mesurer la longueur d’un cercle ou d’un disque, on utilise une formule qui a pour principe de mettre à plat la ligne définissant le cercle. La formule est la suivante : $2\pi r$
Rappels
Rappels
| Figure | Périmètre |
| Carré | $4\times c$ |
| Rectangle | $(L+l) \times 2$ |
| Triangle | $a+b+c$ |
| Disque | $2 \pi r$ |
Distance entre un point et une droite
Distance entre un point et une droite
On appelle $AH$ la distance d’un point $A$ à une droite $\Delta$, $H$ étant le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\Delta$.
Le projeté orthogonal d’un point $A$ sur une droite $\Delta$ se situe à l’intersection de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $A$ et de la droite $\Delta$.
Les aires
Les aires
Définition
Aire :
L’aire correspond à la surface d’une figure.
Quand on cherche à calculer la surface qu’occupe un objet on calcule son aire.
Il y a plusieurs méthodes pour calculer l’aire.
Méthode avec les carrés à compter
Ce rectangle occupe une surface de $12$ carrés. Il possède une aire de $12$.
Il existe une autre méthode pour calculer une aire : en fonction de la figure, on applique une formule spécifique.
L’aire d’un rectangle
L’aire d’un rectangle
À retenir
Pour calculer l’aire d’un rectangle, la formule est la suivante :
$$A_r = L \times l$$
$A_r$ représente la valeur de l’aire du rectangle, $L$ sa longueur et $l$ sa largeur.
Rappel
La longueur d’une figure correspond à la mesure de son plus grand côté et la largeur à la mesure de son petit côté.
Attention
Attention à toujours multiplier les longueurs dans la même unité.
Ces unités étant multipliées par elles-mêmes, on obtiendra des unités d’aire au carré. Ainsi :
- avec des longueurs exprimées en cm, on trouvera une aire exprimée en cm2 ;
- avec des longueurs exprimées en m, on trouvera une aire exprimée en m2 ;
- etc.
L’aire d’un carré
L’aire d’un carré
À retenir
Le carré est un rectangle particulier. On peut donc calculer l’aire d'un carré de la même façon que celle d’un rectangle :
$$A_c = L \times l$$
Mais dans un carré, la longueur est égale à la largeur. Donc pour calculer l’aire d'un carré, la formule est :
$$A_c = l \times l$$ $$A_c= l^2$$
L’aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme
À retenir
Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on utilise la formule : $$A_p= L \times h$$
$A_p$ représente l’aire du parallélogramme, $L$ sa longueur et $h$ sa hauteur.
Astuce
Calculer l’aire d’un parallélogramme revient en fait à calculer l’aire d’un rectangle ayant pour longueur la longueur du parallélogramme et pour largeur sa hauteur.
On peut visualiser l’aire avec des cubes comme ci-dessous.
L’aire d’un triangle
L’aire d’un triangle
À retenir
Calculer l’aire d’un triangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme ayant pour longueur la base du triangle et pour hauteur la hauteur du triangle issue du sommet opposé à la base prise en référence. La formule est donc :
$$A_t=\dfrac{b \times h}{2}$$
$A_t$ représente l’aire du triangle, $b$ sa base et $h$ la hauteur correspondante.
Cas particulier : l’aire d’un triangle rectangle
Cas particulier : l’aire d’un triangle rectangle
Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme, mais dans ce cas, ce parallélogramme aura un angle droit : celui du triangle rectangle. Or un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.
À retenir
Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient donc à calculer la moitié de l’aire d’un rectangle ayant pour longueur le grand côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera $c$) et pour largeur le petit côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera $a$). La formule est donc :
$$A_{tr}= \dfrac{a \times c}{2}$$
$A_{tr}$ représente l’aire du triangle rectangle, $c$ son grand côté adjacent à l’angle droit et $a$ son petit côté adjacent à l’angle droit.
L’aire d’un trapèze
L’aire d’un trapèze
À retenir
Calculer l’aire d’un trapèze revient à ajouter la moitié des aires des rectangles ayant pour longueurs respectives la petite base $b$ et la grande base $B$ du trapèze et pour largeur la hauteur du trapèze.
$$A_{tra}=\dfrac{b \times h}{2} +\dfrac{B \times h}{2}=\dfrac{1}{2} \times (b \times h)+ \dfrac{1}{2} \times (B \times h)$$
On factorise par $\dfrac{1}{2}$ :
$$\dfrac{1}{2} \times [(b \times h)+ (B \times h)]$$
Puis on factorise par $h$ :
$$A_{tra}=\dfrac{1}{2} \times h \times (b +B)$$
$A_{tra}$ représente l’aire du trapèze, $h$ sa hauteur, $b$ sa petite base et $B$ sa grande base.
L’aire d’un disque
L’aire d’un disque
On ne peut expliquer la formule permettant de trouver l’aire d'un disque avec les outils mathématiques que l’on possède au collège.
À retenir
La formule est la suivante :
$$A_d= \pi \times r^2$$
$A_d$ représente l’aire du disque et $r$ son rayon.
Rappels
Rappels
| Figure | Aire |
| Rectangle | $A_r=L\times l$ |
| Carré | $A_c=l^2$ |
| Parallélogramme | $A_p=L \times h$ |
| Triangle | $A_t=\dfrac{b \times h}{2}$ |
| Trapèze | $A_{tra}=\dfrac{1}{2} \times h \times (b + B)$ |
| Cercle | $A_d= \pi \times r^2$ |
Conclusion :
Dans ce cours, on a donc appris ce qu’étaient la longueur et l’aire d’une figure ainsi que les formules pour les calculer.
On retiendra principalement que pour calculer l’aire d’une figure, on multiplie la longueur de cette figure par sa hauteur. Cependant, dans le cas des triangles, on ne prend que la moitié de cette valeur.
Le trapèze et le cercle nécessitent, quant à eux, une formule plus spécifique.