Aire et périmètre de figures géométriques

Périmètre d’une figure géométrique (rappels)

Commençons par rappeler la définition du périmètre d’une figure.

Définition

Périmètre d’une figure géométrique :

Le périmètre d’une figure géométrique est la longueur de son contour.
Il s’exprime en unité de longueur, par exemple le nombre de côtés de carreau, ou avec les unités habituelles : centimètre, mètre, kilomètre, etc.

À retenir

Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés, exprimées dans la même unité.

Propriété

Voici les formules littérales que nous avons apprises en sixième pour calculer le périmètre $\mathcal P$ des polygones usuels :

Rectangle	Rectangle de largeur l et de longueur L	$\mathcal P=2(L+l)$
Carré	Carré de côté c	$\mathcal P=4c$
Losange	Losange de côté c
Triangle	Triangle	$\mathcal P=a+b+c$

Nous avons aussi appris à calculer le périmètre d’un cercle.

• On parle aussi de longueur ou de circonférence d’un cercle.

Propriété

Soit un cercle de rayon $\textcolor{#0099FF}r$, et donc de diamètre $\textcolor{#FF6600} d=2\textcolor{#0099FF}r$.
La circonférence $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal C}$ du cercle est donnée par la formule :

$$\textcolor{#7F00FF}{\mathcal C}=2\pi \textcolor{#0099FF} r=\pi \textcolor{#FF6600} d$$

Cercle de rayon r

Astuce

$\pi$ n’est pas un nombre décimal. Il ne peut pas non plus s’écrire sous la forme d’une fraction.

• En pratique, on utilise l’approximation $\pi\approx 3,14$ ou, pour plus de précision, on utilise la touche $\pi$ de la calculatrice.

Il est aussi intéressant de savoir que $\pi$, aussi appelé constante d’Archimède, se définit souvent comme le rapport, constant, entre la circonférence $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal C}$ d’un cercle et son diamètre $\textcolor{#FF6600} d$ :

$$\pi=\dfrac {\textcolor{#7F00FF}{\mathcal C}}{\textcolor{#FF6600} d}$$

Aire d’une figure géométrique

Rappels

Définition

Aire d’une figure géométrique :

L’aire d’une figure géométrique est la mesure de sa surface.
Une fois une unité d’aire donnée, l’aire de cette figure est le nombre de fois que l’on trouve cette unité d’aire à l’intérieur de la figure.

L’aire peut être exprimée en nombre de carreaux, ou à partir des unités de longueurs habituelles : $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$, etc.

Propriété

Rappelons les formules littérales que nous avons apprises en sixième pour calculer l’aire $\mathcal A$ des polygones usuels :

Rectangle	Rectangle de largeur l et de longueur L	$\mathcal A=L\times l$
Carré	Carré de côté c	$\mathcal A=c^2$
Triangle	Triangle de base b et de hauteur h	$\mathcal A=\dfrac {b\times h}2$

L’unité d’aire de référence est le mètre carré ($\text{m}^2$) : c’est l’aire d’un carré de côté $1\ \text{m}$.
De la même façon, le centimètre carré ($\text{cm}^2$) correspond à l’aire d’un carré de côté $1\ \text{cm}$, le kilomètre carré ($\text{km}^2$) à celle d’un carré de côté $1\ \text{km}$, etc.

Propriété

Soit un disque de rayon $r$.
L’aire $\mathcal A$ du disque est donnée par la formule :

$$\mathcal A=\pi r^2$$

Disque de rayon r

Aire d’un parallélogramme

Nous allons maintenant découvrir comment calculer l’aire d’un parallélogramme.

Rappel

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
De plus, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur.

À retenir

Un rectangle, un carré, un losange ont leurs côtés opposés parallèles : ce sont des parallélogrammes particuliers.

Considérons la figure ci-dessous, représentée sur un quadrillage, où nous cherchons à calculer l’aire du parallélogramme $ABCD$ :

Nous voyons, grâce aux carreaux, que les triangles $ADG$ et $BCF$ ont la même aire.
Calculer l’aire du parallélogramme revient donc à calculer l’aire du rectangle $ABFG$, de longueur $AB$ et de largeur $AG$ :

$$\begin{aligned} \text{Aire}(ABCD)&=\text{Aire}(ABFG) \\ &=AB\times AG \\ &=AB\times DH \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $AG=DH$]}}} \end{aligned}$$

Quand on veut calculer l’aire d’un parallélogramme, on s’intéresse :

• à un côté, ici $[AB]$, qu’on appelle base ;
• et à la hauteur associée, ici $[DH]$, qui est un segment perpendiculaire à la base, dont une extrémité est sur cette base et l’autre sur le côté opposé.
• L’aire du parallélogramme est alors égale au produit des longueurs de la base et de la hauteur associée.

Propriété

Base et hauteur d’un parallélogramme

L’aire $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A}$ d’un parallélogramme est égale à :

$$\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A}=\textcolor{#009900}{\text{base}} \times \textcolor{#FF7F00}{\text{hauteur}}$$

Exercice corrigé

Nous considérons la figure ci-dessous, que nous nommons $\mathcal F$.
Elle est délimitée par :

• le demi-cercle $\textcolor{#FF7F00}{\overgroup{AD}}$, de centre $O$ et de diamètre $[AD]$,
• et les segments $\textcolor{#7F00FF}{[AB]}$, $\textcolor{#7F00FF}{[BC]}$ et $\textcolor{#7F00FF}{[CD]}$,

Nous avons aussi les précisions suivantes : $ABCD$ est un parallélogramme, $[DH]$ est perpendiculaire à $[AB]$ et certaines longueurs sont données.

• Nous cherchons à déterminer le périmètre et l’aire de la figure $\mathcal F$.
• Nous prendrons $\pi\approx 3,14$.
• Nous arrondirons nos résultats au centième.

Périmètre de $\mathcal F$

Le périmètre de $\mathcal F$, que nous notons $\mathcal P$, est égal à la somme des longueurs du demi-cercle $\textcolor{#FF7F00}{\overgroup{AD}}$ et des segments $\textcolor{#7F00FF}{[AB]}$, $\textcolor{#7F00FF}{[BC]}$ et $\textcolor{#7F00FF}{[CD]}$.

• Pour la longueur de $\textcolor{#FF7F00}{\overgroup{AD}}$, comme il s’agit de celle d’un demi-cercle, elle est égale à la moitié de la circonférence du cercle de diamètre $[AD]$.
  De plus, comme $ABCD$ est un parallélogramme, nous avons : $AD=BC=5\ \text{cm}$.
• Nous obtenons donc, pour la longueur du demi-cercle :

$$\begin{aligned} \dfrac {\pi\times AD}2&\approx\dfrac {5\times 3,14}2 \\ &\approx\textcolor{#FF7F00}{7,85} \end{aligned}$$

• Toujours parce que $ABCD$ est un parallélogramme, nous avons : $AB=CD=8\ \text{cm}$.
• La somme des longueurs de $\textcolor{#7F00FF}{[AB]}$, $\textcolor{#7F00FF}{[BC]}$ et $\textcolor{#7F00FF}{[CD]}$ est ainsi égale à :

$$AB+BC+CD=8+5+8=\textcolor{#7F00FF}{21}$$

• Nous obtenons donc le périmètre $\mathcal P$ de $\mathcal F$ :

$$\begin{aligned} \mathcal P&\approx\textcolor{#FF7F00}{7,85}+\textcolor{#7F00FF}{21} \\ &\approx\boxed{28,85} \end{aligned}$$

• Le périmètre de $\mathcal F$ est environ égal à $28,85\ \text{cm}$.

Aire de $\mathcal F$

Pour calculer l’aire de $\mathcal F$, que nous notons $\mathcal A$, nous voyons qu’elle est égale à la somme de l’aire $\textcolor{#FF7F00}{\mathcal A_\text{dd}}$ du demi-disque de centre $O$ et de diamètre $[AD]$, et de l’aire $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A_\text{p}}$ du parallélogramme $ABCD$ :

• L’aire $\textcolor{#FF7F00}{\mathcal A_\text{dd}}$ du demi-disque est égale à la moitié de l’aire du disque de centre $O$ et de diamètre $[AD]$.

Le rayon $r$ de ce disque est égal à la moitié de son diamètre, soit :

$$r=\dfrac {AD}2=\dfrac 52=2,5$$

• Nous obtenons donc :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF7F00}{\mathcal A_\text{dd}}&=\dfrac{\pi r^2}2 \\ &\approx \dfrac{3,14\times 2,5^2}2 \\ &\approx \textcolor{#FF7F00}{9,81} \end{aligned}$$

• Nous utilisons la formule de l’aire d’un parallélogramme pour calculer l’aire $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A_\text{p}}$, avec $[AB]$ la base de $ABCD$ et $[DH]$ la hauteur associée :

$$\begin{aligned} \textcolor{#7F00FF}{\mathcal A_\text{p}}&=AB\times DH \\ &=8\times 4 \\ &=\textcolor{#7F00FF}{32} \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant calculer l’aire $\mathcal A$ de $\mathcal F$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\textcolor{#FF7F00}{A_\text{dd}}+\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A_\text{p}} \\ &\approx \textcolor{#FF7F00}{9,81}+\textcolor{#7F00FF}{32} \\ &\approx \boxed{41,81} \end{aligned}$$

• L’aire de $\mathcal F$ est environ égale à $41,81\ \text{cm}^2$.