Cours : Calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle, d'un carré et d'un cercle

Longueur et périmètre

Longueur entre deux points : le segment

Le trajet le plus court pour aller de la maison au puits est d’aller tout droit sans passer par l’arbre.
En remplaçant ces objets par des lettres, on obtient ceci :

La maison est devenue le point $A$, le puits le point $B$ et l’arbre le point $C$.
La longueur entre $2$ points est un segment. C’est ce dernier que l’on mesure.

Attention

On ne peut pas mesurer la longueur d’une droite car, par définition, celle-ci se prolonge à l’infini. Elle n’a pas de fin, elle ne peut donc pas être mesurée.

Mesure d’un trajet ou d’un périmètre

Définition

Périmètre :

Le périmètre correspond à la longueur du tour d’une figure.

Pour mesurer un trajet ou le périmètre d’une figure, on additionne la mesure de chacun des segments qui compose le trajet ou le périmètre.

Pour calculer le périmètre $P$, on fera donc :

$\begin {aligned} P &= AC + AB + BC \ P &= 3 + 5 + 4 \ P &= 12\ \text{cm} \end{aligned}$

Pour mesurer la longueur d’un cercle ou d’un disque, on utilise une formule qui a pour principe de mettre à plat la ligne définissant le cercle. La formule est la suivante : $2\pi r$

Rappels

Distance entre un point et une droite

On appelle $AH$ la distance d’un point $A$ à une droite $\Delta$, $H$ étant le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\Delta$.

Le projeté orthogonal d’un point $A$ sur une droite $\Delta$ se situe à l’intersection de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $A$ et de la droite $\Delta$.

Les aires

Définition

Aire :

L’aire correspond à la surface d’une figure.

Quand on cherche à calculer la surface qu’occupe un objet on calcule son aire.

Il y a plusieurs méthodes pour calculer l’aire.

Méthode avec les carrés à compter

Ce rectangle occupe une surface de $12$ carrés. Il possède une aire de $12$.

Il existe une autre méthode pour calculer une aire : en fonction de la figure, on applique une formule spécifique.

L’aire d’un rectangle

À retenir

Pour calculer l’aire d’un rectangle, la formule est la suivante :

$A_r = L \times l$

$A_r$ représente la valeur de l’aire du rectangle, $L$ sa longueur et $l$ sa largeur.

Rappel

La longueur d’une figure correspond à la mesure de son plus grand côté et la largeur à la mesure de son petit côté.

Attention

Attention à toujours multiplier les longueurs dans la même unité.

Ces unités étant multipliées par elles-mêmes, on obtiendra des unités d’aire au carré. Ainsi :

• avec des longueurs exprimées en cm, on trouvera une aire exprimée en cm² ;
• avec des longueurs exprimées en m, on trouvera une aire exprimée en m² ;
• etc.

L’aire d’un carré

À retenir

Le carré est un rectangle particulier. On peut donc calculer l’aire d'un carré de la même façon que celle d’un rectangle :

$A_c = L \times l$

Mais dans un carré, la longueur est égale à la largeur. Donc pour calculer l’aire d'un carré, la formule est :

$A$c = l \times lAc​=l×l $A$c= l^2

L’aire d’un parallélogramme

À retenir

Pour calculer l’aire d’un parallélogramme, on utilise la formule : $A_p= L \times h$

$A_p$ représente l’aire du parallélogramme, $L$ sa longueur et $h$ sa hauteur.

Astuce

Calculer l’aire d’un parallélogramme revient en fait à calculer l’aire d’un rectangle ayant pour longueur la longueur du parallélogramme et pour largeur sa hauteur.

On peut visualiser l’aire avec des cubes comme ci-dessous.

L’aire d’un triangle

À retenir

Calculer l’aire d’un triangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme ayant pour longueur la base du triangle et pour hauteur la hauteur du triangle issue du sommet opposé à la base prise en référence. La formule est donc :

$A_t=\dfrac{b \times h}{2}$

$A_t$ représente l’aire du triangle, $b$ sa base et $h$ la hauteur correspondante.

Cas particulier : l’aire d’un triangle rectangle

Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient à calculer la moitié de l’aire d’un parallélogramme, mais dans ce cas, ce parallélogramme aura un angle droit : celui du triangle rectangle. Or un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.

À retenir

Calculer l’aire d’un triangle rectangle revient donc à calculer la moitié de l’aire d’un rectangle ayant pour longueur le grand côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera $c$) et pour largeur le petit côté adjacent à l’angle droit (que l’on nommera $a$). La formule est donc :

$A_{tr}= \dfrac{a \times c}{2}$

$A_{tr}$ représente l’aire du triangle rectangle, $c$ son grand côté adjacent à l’angle droit et $a$ son petit côté adjacent à l’angle droit.

L’aire d’un trapèze

À retenir

Calculer l’aire d’un trapèze revient à ajouter la moitié des aires des rectangles ayant pour longueurs respectives la petite base $b$ et la grande base $B$ du trapèze et pour largeur la hauteur du trapèze.
$A_{tra}=\dfrac{b \times h}{2} +\dfrac{B \times h}{2}=\dfrac{1}{2} \times (b \times h)+ \dfrac{1}{2} \times (B \times h)$

On factorise par $\dfrac{1}{2}$ :

$\dfrac{1}{2} \times [(b \times h)+ (B \times h)]$

Puis on factorise par $h$ :
$A_{tra}=\dfrac{1}{2} \times h \times (b +B)$

$A_{tra}$ représente l’aire du trapèze, $h$ sa hauteur, $b$ sa petite base et $B$ sa grande base.

L’aire d’un disque

On ne peut expliquer la formule permettant de trouver l’aire d'un disque avec les outils mathématiques que l’on possède au collège.

À retenir

La formule est la suivante :

$A_d= \pi \times r^2$

$A_d$ représente l’aire du disque et $r$ son rayon.

Rappels