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Bases de numération

  • Considérons une base ss (avec ss entier 1>1). Alors l’écriture générale d’un nombre de (n+1)(n+1) chiffres est, dans cette base :

anan1a1a0=an×sn+an1×sn1++a1×s1+a0×s0=i=0nai×si\begin{aligned} \red{an} \blue{a{n-1}}… \purple{a1} \green{a0} &= \red{an} \times s^n + \blue{a{n-1}} \times s^{n-1} + … + \purple{a1} \times s^1+ \green{a0} \times s^0 \ &= \displaystyle\sum{i=0}^n ai\times s^i \end{aligned}

  • Avec, pour tout ii de 00 à nn, aia_i un chiffre de la base ss.
  • Il est important de préciser dans quelle base ces nombres sont exprimés.
  • Nous choisissons ici de mettre la base en indice, après le nombre concerné : NsN_s.
  • On considère qu’un nombre donné sans précision supplémentaire (sans indice) est exprimé en base 1010.

Base binaire et base hexadécimale

  • Base binaire et bit
  • Un nombre binaire s’écrit avec 22 chiffres, 00 et 11.
  • En base binaire, nous ne pouvons aller au-delà de 11 :

0002  +1  0012  +1  0102  +1  0112  +1  1002  +1  1012 \textcolor{#A9A9A9} {00} 0{\tiny 2}\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ \textcolor{#A9A9A9} 0 \textcolor{#A9A9A9} 0 \red 1{\tiny 2} \ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ \textcolor{#A9A9A9} 0 \red1 \green0{\tiny 2} \ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ \textcolor{#A9A9A9} 0 1 \red1{\tiny 2}\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ \red1 \green0 \green0{\tiny 2} \ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 10\red1{\tiny 2}\ …

  • On identifie les premier et dernier bits par des noms :
  • celui le plus à droite est le bit de poids faible, noté LSB\text{LSB} ;
  • celui le plus à gauche est le bit de poids fort, noté MSB\text{MSB} ;
  • Nombre hexadécimal
  • Un nombre hexadécimal s’écrit avec 1616 chiffres, de 00 et 99, puis de A\text{A} à F\text{F}.
  • Ici aussi, pour passer d’un nombre au suivant, on ajoute 11 :

00  +1  01  09  +1  0A  +1  0 0F  +1  10  +1  11  1F  +1  20 00\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 01\ …\ 09\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 0 \text{A}\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 0 \text{B}\ …\ 0 \text{F}\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 10\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 11\ …\ 1 \text{F}\ ^{\underrightarrow{\ {+1}\ }}\ 20\ …

Conversion entre bases

  • Conversion binaire \rightarrow décimal
  • Écrire le nombre binaire sous la forme d’une somme de puissances de 22, puis de faire l’opération.
  • Conversion décimal \rightarrow binaire
  • Réaliser une succession de divisions euclidiennes par 22, jusqu’à obtenir un quotient égal à 00. Le nombre binaire sera la succession des restes, en partant de celui de la dernière division, jusqu’à celui de la première. Autrement dit :
  • le bit de poids faible sera le reste de la première division euclidienne ;
  • le bit de poids fort sera le reste de la dernière division euclidienne.
  • Conversion hexadécimal \rightarrow binaire
  • Donner la correspondance en binaire, sur un quartet, de chaque chiffre.
  • Conversion binaire \rightarrow hexadécimal
  • Dans un premier temps, grouper le nombre binaire par quartets, en partant du bit de poids faible.
  • Ensuite, donner la correspondance de chaque quartet en hexadécimal.
  • Conversion hexadécimal \rightarrow décimal
  • Écrire le nombre hexadécimal sous la forme d’une somme de puissances de 1616, puis de faire l’opération.
  • Il conviendra bien sûr, pour les lettres, de les convertir dans le nombre décimal correspondant.
  • Conversion décimal \rightarrow hexadécimal
  • Réaliser une succession de divisions euclidiennes par 1616, jusqu’à obtenir un quotient égal à 00. Le nombre hexadécimal sera la succession des restes, en partant de celui de la dernière division, jusqu’à celui de la première.
  • Si le reste est supérieur ou égal à 1010, le convertir dans la lettre correspondante.