Dans un jeu, le personnage se déplace dans un labyrinthe modélisé par la grille ci-dessous.
Labyrinthe
Il suit les lignes avec les règles suivantes :
Le chemin est codé par un mot constitué d'une succession de lettres $\text{D}$ et $\text{H}$ correspondant à chaque saut effectué.
Par exemple, pour se rendre au point $A\,(\purple 2\ ;\, \blue 1)$, le personnage doit effectuer $\purple 2$ sauts vers la droite et $\blue 1$ saut vers le haut, dans n’importe quel ordre, soit $\purple 2+\blue 1=\green 3$ sauts au total.
Question 1
Justifier que, pour se rendre au point $A$ en partant de $E$, le personnage a $\binom 31$ choix possibles.
Donner la valeur de $\binom 31$.
Question 2
Le personnage doit aller chercher $3$ clés dans le labyrinthe. L’une d’entre elles est positionnée en $T\,(5\ ;\, 4)$.
Quelle est la longueur des chemins entre $E$ et $T$ ?
Dénombrer les chemins différents entre le point $E$ et le point $T$ : montrer qu’il y en a $126$.
En $P\,(4\ ;\, 2)$ se trouve un piège que le personnage doit éviter.
Combien de chemins y a-t-il qui permettent de passer de $E$ à $T$ sans passer par le point $P$ ?
Question 3
Dans le jeu, on peut programmer pour le personnage une marche aléatoire de longueur $n$, où $1\leq n\leq 15$ : l’ordinateur affecte un pas vers la droite ou vers le haut de manière aléatoire, $n$ fois consécutivement.
Cette marche est codée par un mot de longueur $n$, où les lettres sont toujours $\text{H}$ ou $\text{D}$.
Combien de chemins différents de longueur $n$ existe-t-il ?
Quelle est la probabilité que, sur un chemin aléatoire de longueur $9$, le personnage effectue le chemin de $E$ à $T$ sans passer par $P$ ?
Question 4
Le personnage a récupéré ses $3$ clés, qui sont $3$ chiffres distincts entre $1$ et $7$.
Combien de codes différents peut-on écrire avec ces $3$ chiffres ?
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