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Programme Primaire CM2Cours MathématiquesComparer, repérer, ranger, encadrer et placer les nombres décimaux undefined : Comparer, repérer, ranger, encadrer et placer les nombres décimaux Comparer, repérer, ranger, encadrer et placer les nombres décimaux
Prérequis :
- Comparer, encadrer, positionner des fractions sur une droite
- Comparer, ranger et encadrer les fractions
Comparer deux nombres décimaux
Pour comparer deux nombres décimaux, il faut tout d’abord comparer leur partie entière. Deux cas différents peuvent apparaître.
- Les parties entières sont différentes.
Le nombre qui a la partie entière la plus faible est le plus petit.
Exemple
Comparons 15,3 et 12,25.
Les parties entières sont 15 et 12.
- 15 est plus grand que 12.
- Donc 15,3 > 12,25.
- Les parties entières sont identiques.
Il faut comparer les parties décimales en commençant par le premier chiffre des dixièmes, (le premier chiffre après la virgule).
Exemple
Comparons 3,261 et 3,54.
Les parties entières sont identiques avec le chiffre 3. On compare donc les chiffres des dixièmes.
- 2 est plus petit que 5.
- 3,261 < 3,54.
Si les chiffres des dixièmes sont identiques dans les deux nombres, alors on compare le chiffre des centièmes. Et ainsi de suite.
Exemple
Comparons 7,069 et 7,01.
Dans ce cas, les parties entières sont identiques avec le chiffre 7.
Le chiffre des dixièmes est identique : 0.
On compare donc les chiffres des centièmes.
- 6 est plus grand que 1.
- 7,069 > 7,01.
Ranger les nombres décimaux
Pour ranger plusieurs nombres, on utilise la méthodologie ci-dessus et on l’applique à tous les nombres.
Rappel
Pour ranger des nombres dans l’ordre croissant, on compare tous les nombres et on cherche d’abord le plus petit.
Pour ranger des nombres dans l’ordre décroissant, on compare tous les nombres et on cherche d’abord le plus grand.
Exemple
Rangeons dans l’ordre croissant les nombres suivants :
{125,36 / 125,369 / 109,9 / 125,6 / 110,2}
Le plus petit nombre décimal est 109,9. On note :
109,9 < … < … < …
Puis on le barre dans l’énoncé.
{125,36 / 125,369 / 109,9 / 125,6 / 110,2}
Il ne reste plus que quatre nombres à ranger. En continuant toujours par le plus petit :
109,9 < 110,2 < … < …
Et ainsi de suite. On trouve alors :
109,9 < 110,2 < 125,36 < 125,369 < 125,6
Tous les nombres décimaux peuvent aussi s’écrire sous la forme de fractions décimales. Pour ranger des fractions décimales, on vérifie qu’elles ont le même dénominateur (le nombre du bas) et on les range dans l’ordre des numérateurs (le nombre du haut).
Exemple
Rangeons dans l’ordre croissant les nombres suivants :
{$\frac{125}{10}$ / $\frac{12}{10}$ / $\frac{256}{10}$ / $\frac{14}{10}$ / $\frac{1}{10}$}
Toutes les fractions ont 10 au dénominateur, il suffit donc de ranger les numérateurs du plus petit au plus grand :
$\frac{1}{10} < \frac{12}{10} < \frac{14}{10} < \frac{125}{10} < \frac{256}{10}$
Si on les écrit sous leur forme décimale, on a :
$0,1 < 1,2 < 1,4 < 12,5 < 25,6$
Encadrer un nombre décimal entre deux nombres décimaux
À retenir
Un nombre décimal peut être encadré entre deux nombres décimaux. On dit qu’on encadre au dixième près quand l’encadrement est réalisé avec un chiffre après la virgule, et au centième près quand l’encadrement est réalisé avec deux chiffres après la virgule.
Exemple
5,716 est un nombre décimal.
- Il se situe entre 5,7 et 5,8.
Comment déterminer l’encadrement d’un nombre décimal au dixième près ?
- Noter la partie entière du nombre décimal, et le chiffre des dixièmes.
- Ajouter 0,1 à ce nombre.
- Les deux nombres trouvés sont des nombres qui encadrent le nombre décimal.
- Écrire l’encadrement avec le nombre décimal.
Exemple
Encadrons le nombre décimal 23,748.
- La partie entière du nombre décimal est 23, et le nombre décimal avec le chiffre des dixièmes est : 23,7.
- Ajouter 0,1 à ce nombre : 23,8.
- Les deux nombres trouvés sont : 23,7 et 23,8.
- L’encadrement est donc : 23,7 < 23,748 < 23,8.
Pour encadrer une fraction décimale, on peut l’écrire sous sa forme décimale et appliquer la même méthode.
Exemple
Encadrons $\frac{256}{100}$ au dixième près. $$\frac{256}{100}=2,56$$
- La partie entière du nombre décimal est 2, et le nombre décimal avec le chiffre des dixièmes est : 2,5.
- Ajouter 0,1 à ce nombre : 2,6
- Les deux nombres trouvés sont : 2,5 et 2,6.
- L’encadrement est donc : $2,5 < \frac{256}{100} < 2,6$.
A l’inverse, on peut facilement trouver un nombre à l’intérieur d’un encadrement : il suffit de rajouter un chiffre entre 1 et 9 au nombre inférieur de l’encadrement.
Exemple
Voici une inégalité à compléter : $2,3 < … < 2,4$
- Le nombre inférieur de l’encadrement est 2,3 (il s’arrête au dixième)
- On lui rajoute un chiffre des centièmes, par exemple 2, ce qui donne : 2,32
- Voici donc une possibilité pour compléter l’encadrement : $2,3 < 2,32 < 2,4$
Repérer et placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Les nombres décimaux peuvent être situés sur une demi-droite graduée. Cela permet de les comparer, de les encadrer et de voir leur répartition.
Attention
Il faut bien regarder la demi-droite et être attentif à la valeur de chaque graduation.
À retenir
S’il y a 10 graduations entre deux nombres entiers, la valeur de chaque graduation est 0,1 (ou $\frac{1}{10}$).
Exemple
Sur cette droite graduée, chaque graduation vaut aussi un dixième. Pour placer $\frac{54}{10}$, il suffit de compter 4 graduations à partir de 5.
- Avec cette graduation, on peut facilement placer des nombres ayant un chiffre après la virgule.
Mais on peut aussi placer des nombres ayant deux chiffres après la virgule.
Exemple
Plaçons 62,74 sur la demi-droite graduée.
- Recherchons sur la demi-droite graduée 62,7.
- Recherchons sur la demi-droite graduée 62,8.
- Imaginons sur la demi-droite graduée, 10 petites graduations entre 62,7 et 62,8.
- Plaçons 67,74 sur la demi-droite graduée, à la quatrième petite graduation.
Attention
Il faut être très vigilant pour déterminer la valeur d’une graduation.
Exemple
Ici, les 10 graduations sont entre deux nombres avec des dixièmes. Chaque graduation vaut donc 0,01. Plaçons 5,435 sur la droite graduée.
- Recherchons sur la droite graduée 5,43.
- Recherchons sur la droite graduée 5,44.
- Imaginons sur la droite graduée, 10 petites graduations entre 5,43 et 5,44.
- Plaçons 5,435 sur la droite graduée, à la cinquième petite graduation.
