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Dérivée de 2 fonctions composées

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Introduction :

En première, nous avons abordé la notion de dérivée d’une fonction. Nous allons ici en faire un rappel, avant de découvrir de nouvelles formules de dérivées spécifiques. Enfin, nous appliquerons la notion de dérivée en étudiant une fonction.

Rappels sur les calculs de dérivées

Commençons par nous remémorer les dérivées de quelques fonctions usuelles, que nous avons vues en première :

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À retenir

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur :
ax+bax+b aa R\mathbb R
xn (nN)x^n\ (n\in \mathbb N^*) nxn1nx^{n-1} R\mathbb R
1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R*\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
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Exemple

Dérivons, par exemple, la fonctionff définie et dérivable sur R\mathbb{R}^* telle que : f(x)=x4+2x+3xf(x)=x^4+2x+\dfrac 3x.

  • Pour tout xRx\in\mathbb{R}^* :

f(x)=4x3+23x2f^{\prime}(x)=4x^3+2-\dfrac {3}{x^2}

Revoyons maintenant les formules de produit et de quotient de deux fonctions.

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À retenir

  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, alors la fonction uvuv est dérivable sur II et :

(uv)=uv+uv(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}

  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xIx\in I, alors :
  • la fonction 1v\dfrac {1}{v} est dérivable sur II et

(1v)=vv2\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}

  • la fonction uv\dfrac {u}{v} est dérivable sur II et

(uv)=uvuvv2\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}

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Exemple

Soit gg la fonction définie sur \mathbbR+\mathbbR^{*+} par : g(x)=(2x+5)xg(x)=(2x+5)\sqrt x.

La fonction gg est le produit des deux fonctions : x2x+5x\mapsto 2x+5 et xxx\mapsto \sqrt x, dérivables sur R+\mathbb{R}^{*+}.

  • Posons :
  • u(x)=2x+5u(x)=2x+5,nous obtenons u(x)=2u^{\prime}(x) =2 ;
  • v(x)=xv(x)=\sqrt x, nous obtenons v(x)=12xv^{\prime} (x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.
  • Utilisons la formule de la dérivée d’un produit : (uv)=uv+uv(uv)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime} .

Pour x>0x > 0 :

g(x)=2×x+(2x+5)×12x=2x+2x+52x=2x×2x2x+2x+52x=4x+2x+52x=6x+52x\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=2\times \sqrt x +(2x+5)\times \dfrac {1}{2\sqrt x} \ &=2\sqrt x + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x} \ &= \dfrac { 2\sqrt x \times 2\sqrt x }{2\sqrt x} + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x} \ &= \dfrac {4x+2x+5}{2\sqrt x} \ & = \dfrac {6x+5}{2\sqrt x} \end{aligned}

Enfin, terminons ces rappels en redonnant l’équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction.

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À retenir

ff est une fonction dérivable en aIa\in I. La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

  • f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

Ces rappels faits, nous pouvons découvrir de nouvelles formules, qui nous permettront d’étudier des fonctions plus complexes.

Fonctions de la forme unu^n

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À retenir

Soit nn un entier relatif non nul. Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II et si, lorsque nn est strictement négatif, uu ne s’annule pas sur II,

  • alors la fonction unu^n est dérivable sur II et (un)=nuun1(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}.
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Exemple

Prenons un exemple et dérivons la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=(3x2+4)3f(x) =(-3x^2+4)^3, et qui est dérivable sur cet intervalle.

  • On reconnaît la forme unu^n, avec u(x)=3x2+4u(x)=-3x^2+4 et n=3n=3.
  • On dérive uu pour pouvoir appliquer la formule : (un)=nuun1(u^n)^{\prime} =nu^{\prime} u^{n-1}.
  • On obtient : u(x)=6xu^{\prime} (x)=-6x.
  • Enfin, pour tout nombre réel xx :

f(x)=3×(6x)×(3x2+4)31=18x(3x2+4)2\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=3\times(-6x) \times (-3x^2+4)^{3-1} \ &=-18x(-3x^2+4)^2 \end{aligned}

/b.

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À retenir

Si uu est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle II,

  • alors la fonction u\sqrt u est dérivable sur II et (u)=u2u(\sqrt u)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}.
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Exemple

Dérivons la fonction ff telle que : f(x)=4+x2f(x)= \sqrt{4+x^2}. ff est définie et dérivable sur R\mathbb{R} car 4+x2>04+x^2>0 sur R\mathbb{R}.

  • On reconnaît la forme u\sqrt u, avec u(x)=4+x2u(x)= 4+x^2.
  • On calcule la dérivée de uu pour pouvoir appliquer la formule : (u)=u2u(\sqrt u)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{2\sqrt u}.
  • On obtient : u(x)=2xu^{\prime}(x)=2x.
  • Enfin, pour tout nombre réel xx :

f(x)=2x24+x2=x4+x2\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\dfrac{2x}{2\sqrt {4+x^2}} \ &=\dfrac{x}{\sqrt {4+x^2}} \end{aligned}

Fonctions composées

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À retenir

Les deux formes que nous venons de voir sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée, de forme générale :

xf(u(x))x \mapsto f\big(u(x)\big)

u:IJu\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}.

Si la fonction uu est dérivable sur II et que la fonction ff est dérivable sur JJ, alors la fonction xf(u(x))x \mapsto f(u(x)) est dérivable sur II et a pour dérivée la fonction :

xu(x)×f(u(x))x \mapsto u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)

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Exemple

Soit uu une fonction dérivable sur R\mathbb{R}. La fonction eu{\text{e}}^u est dérivable sur R\mathbb{R} et, la fonction exponentielle étant sa propre dérivée :

(eu)=u×eu(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times \text{e}^u

Application de la dérivation : exemple d’étude de fonction

Dans cette dernière partie, forts de ce que nous avons appris sur les limites dans le cours précédent et des nouvelles formules de dérivation que nous venons de découvrir, menons l’étude d’une fonction.

  • Ainsi, nous connaîtrons la méthodologie à appliquer.
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Astuce

Donnons déjà les étapes d’une étude de fonction :

  • chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
  • calculer la dérivée ;
  • étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.

Soit la fonction ff définie par : f(x)=(2x1x+3)3f(x) = \Big(\dfrac {2x-1}{x+3}\Big)^3.

  • Cherchons l’ensemble de définition de ff.
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Attention

Il s’agit d’une fonction rationnelle, c’est-à-dire du quotient de deux plynômes, donc le dénominateur ne doit pas s’annuler.

La valeur interdite est x=3x=-3, car le dénominateur s’annule pour x=3x=-3.

  • L’ensemble de définition de la fonction est donc :

Df=] ;3[]3 ;+[D_f=\,]-\infty\ ;\,-3[\,\cup\,]-3\ ;\,+\infty[

  • Calculons la dérivée de ff.
  • La fonction ff est de la forme unu^n, avec u(x)=2x1x+3u(x)=\dfrac{2x-1}{x+3} et n=3n=3.
  • La fonction uu est de la forme vw\dfrac {v}{w} avec v(x)=2x1v(x) = 2x-1 et w(x)=x+3w(x) = x+3.
  • Calculons d’abord la dérivée de uu.

Pour cela, calculons les dérivées de vv et ww : v(x)=2v^{\prime}(x) = 2 et w(x)=1w^{\prime}(x)=1. Ces deux dérivées peuvent être directement écrites dans le calcul de u(x)u^{\prime}(x) qui suit.

Pour tout xDfx\in D_f :

u(x)=(vwvww2)(x)=2(x+3)(2x1)×1(x+3)2=2x+62x+1(x+3)2=7(x+3)2\begin{aligned} u^{\prime}(x)&= \Big(\dfrac {v^{\prime} w-vw^{\prime} }{w^2}\Big)(x) \ &=\dfrac {2(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac {2x+6-2x+1}{(x+3)^2} \ &=\dfrac {7}{(x+3)^2} \end{aligned}

  • Calculons à présent la dérivée de ff, qui est dérivable sur DfDf en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur DfDf et car le dénominateur ne s’annule pas sur cette réunion d'intervalles.

Pour tout xDfx\in D_f :

f(x)=n×u(x)×(u(x))n1=3×7(x+3)2×(2x1x+3)2=21(2x1)2(x+3)4\begin{aligned} f^{\prime}(x)& =n \times u^{\prime}(x) \times \big(u(x)\big)^{n-1} \ &= 3\times \dfrac {7}{(x+3)^2} \times \Big(\dfrac {2x-1}{x+3}\Big)^2 \ &=\boxed{\dfrac {21(2x-1)^2}{(x+3)^4}} \end{aligned}

  • Étudions le signe de ff^{\prime} et des variations de ff.

Il convient ici de faire un tableau de signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variations de la fonction.

  • 21(2x1)221(2x-1)^2 s’annule pour x=12x=\dfrac 12, et reste strictement positif sinon.
  • (x+3)4>0(x + 3)^4 > 0 pour tout xx de l’ensemble de définition.
  • La dérivée est donc supérieure ou égale à 00 sur les deux intervalles de son ensemble de définition.

Nous pouvons maintenant construire le tableau suivant :

Img-01 (Ne pas mettre la dernière ligne.)

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Attention

Ne pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

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Rappel

  • Lorsque la dérivée de ff est positive sur un intervalle, la fonction ff est croissante sur cet intervalle.
  • Lorsque la dérivée de ff est négative sur un intervalle, la fonction ff est décroissante sur cet intervalle.

Ajoutons dans le tableau les variations de ff à partir du signe de ff^{\prime} :

Img-02 (Ne pas mettre les limites.)

  • Calculons les limites aux bornes de l’ensemble de définition :
  • En -\infty :

limxf(x)=limx(2x1x+3)3[il nous faut enlever la forme indeˊtermineˊe]=limx(x(21x)x(1+3x))3[en factorisant par x, que l’on suppose non nulcar on s’inteˊresse aˋ la limite en ]=limx(21x1+3x)3[en simplifiant par x]=limx(21)3[car limx1x=limx3x=0]=8\begin{aligned} \lim\limits{x \to -\infty} f(x)&=\lim\limits{x \to -\infty} \Big(\dfrac {2x-1}{x+3}\Big)^3 \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{[il nous faut enlever la forme indéterminée]}}} \ &=\lim\limits{x \to -\infty} \bigg(\dfrac {x(2-\frac 1x)}{x(1+\frac {3}{x})}\bigg)^3 \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{[en factorisant par } x \text{, que l’on suppose non nul}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{car on s'intéresse à la limite en }-\infty]}} \ &=\lim\limits{x \to -\infty} \bigg(\dfrac {2-\frac 1x}{1+\frac 3x}\bigg)^3 \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{[en simplifiant par }x]}} \ &=\lim\limits{x \to -\infty}\Big(\dfrac 21\Big)^3 \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{[car }\lim\limits{x \to -\infty} \dfrac 1x=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac 3x=0]}} \ &=\boxed 8 \end{aligned}

  • En ++\infty :

De la même façon, on trouve :

limx+f(x)=8\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\boxed 8

  • Limite à gauche en 33 :
  • limx3x<3(2x1)=7\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3} (2x-1) =-7
  • limx3x<3(x+3)=0\lim\limits_{x \to -3 \atop x < -3} (x+3)=0^-
  • Nous obtenons donc :

\begin{aligned} \lim\limits{x \to -3 \atop x < -3} \dfrac {2x-1}{ x+3}&=+\infty \ \lim\limits{x \to -3 \atop x < -3 } f(x)&=\boxed{+\infty} \end{aligned}

  • Limite à droite au point 3 :
  • limx3x>3(2x1)=7\lim\limits_{x \to -3 \atop x > -3} (2x-1) =-7
  • limx3x>3(x+3)=0+\lim\limits_{x \to -3 \atop x > -3} (x+3)=0^+
  • Nous obtenons donc :

\begin{aligned} \lim\limits{x \to -3 \atop x > -3} \dfrac {2x-1}{ x+3}&=-\infty \ \lim\limits{x \to -3 \atop x > -3 } f(x)&=\boxed{-\infty} \end{aligned}

Nous pouvons maintenant compléter le tableau :

Img-03

Enfin, nous pouvons tracer la courbe représentative de ff :

Img-04

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu les formules de dérivation de première et en avons découvert de nouvelles. Puis nous avons mis en pratique certaines de ces formules et avons calculé des limites, afin de mener l’étude d’une fonction.