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Marianne

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Compléments sur la dérivation

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

L’étude de la dérivation, commencée en classe de première, est étendue par l’étude de la dérivée d’une fonction composée et l’introduction de la dérivée seconde.

L’étude des fonctions convexes permet de réinvestir et d’enrichir le travail entamé en classe de première sur les dérivées. Elles donnent l’occasion de raisonner en diversifiant les registres : représentations graphiques, tableaux de variations, expressions symboliques.

Contenus

  • Composée de deux fonctions, notation vuv\circ u. Relation (vu)=(vu)×u(v\circ u)^\prime=(v^\prime\circ u)\times u pour la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables.
  • Dérivée seconde d’une fonction.
  • Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes. Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de ff^\prime, la positivité de ff^{\prime\prime}.
  • Point d’inflexion.

Capacités attendues

  • Calculer la dérivée d’une fonction donnée par une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition.
  • Calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence.
  • Démontrer des inégalités en utilisant la convexité d’une fonction.
  • Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction ff à partir de la donnée de tableaux de variations de ff, de ff^\prime ou de ff^{\prime\prime}.
  • Lire sur une représentation graphique de ff, de ff^\prime ou de ff^{\prime\prime} les intervalles où ff est convexe, concave, et les points d’inflexion. Dans le cadre de la résolution de problème, étudier et utiliser la convexité d’une fonction.

Démonstration

  • Si ff^{\prime\prime} est positive, alors la courbe représentative de ff est au-dessus de ses tangentes.