Dérivée de 2 fonctions composées

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪

Rappels sur les calculs de dérivées

Tableau des dérivées de quelques fonctions usuelles vues en première :

$f(x)$	$f^\prime(x)$	$f$ est dérivable sur :
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$	$a$	$\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$	$nx^{n-1}$	$\mathbb R \text{ si } n\geq 0$ $\mathbb R^* \text{ si } n<0$
$\dfrac 1x$	$-\dfrac 1{x^2}$	$\mathbb R^*$
$\sqrt x$	$\dfrac 1{2\sqrt x}$	$]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$	$\text e^x$	$\mathbb R$

Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et : $(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x)\neq0$ pour tout $x\in I$, alors :
la fonction $\dfrac {1}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$
la fonction $\dfrac {u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$
Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
$f$ est une fonction dérivable en $a\in I$.
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation : $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$
$f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

Fonctions de la forme $u^n$ : soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Si $n \in \mathbb N^*$, alors la fonction $u^n$ est dérivable et : $\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}$
Si $n$ est un entier strictement négatif et que $u$ ne s’annule pas sur $I$, alors $u^n$ est aussi dérivable et on a la même formule.
Fonctions de la forme $\sqrt u$ :
Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$,
alors la fonction $\sqrt u$ est dérivable sur $I$ et $\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}$.
Fonctions composées :
Soit une fonction composée, de forme générale : $x \mapsto f\big(u(x)\big)$. Où $u\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$, avec $I$ et $J$ deux intervalles.
Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $J$, alors la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction :

$$x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}$$

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction

Étapes d’une étude de fonction :

Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
Calculer la dérivée ;
Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.

Fiche de révision : Dérivée de 2 fonctions composées

Rappels sur les calculs de dérivées

Nouvelles formules de dérivées

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction