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Dérivée de 2 fonctions composées

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2023. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Rappels sur les calculs de dérivées

  • Tableau des dérivées de quelques fonctions usuelles vues en première :

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur :
ax+b (a et bR)ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R) aa R\mathbb R
xn (nZ)x^n\ (n\in \mathbb Z) nxn1nx^{n-1} R si n0\mathbb R \text{ si } n\geq 0

R si n<0\mathbb R^* \text{ si } n<0</span

1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R*\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
  • Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, alors la fonction uvuv est dérivable sur II et : (uv)=uv+uv(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xIx\in I, alors :
  • la fonction 1v\dfrac {1}{v} est dérivable sur II et : (1v)=vv2\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}
  • la fonction uv\dfrac {u}{v} est dérivable sur II et : (uv)=uvuvv2\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}
  • Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
  • ff est une fonction dérivable en aIa\in I.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)
  • f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

  • Fonctions de la forme unu^n : soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.
  • Si nNn \in \mathbb N^*, alors la fonction unu^n est dérivable et : (un)=nuun1\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}
  • Si nn est un entier strictement négatif et que uu ne s’annule pas sur II, alors unu^n est aussi dérivable et on a la même formule.
  • Fonctions de la forme u\sqrt u :
  • Si uu est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle II,
  • alors la fonction u\sqrt u est dérivable sur II et (u)=u2u\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}.
  • Fonctions composées :
  • Soit une fonction composée, de forme générale : xf(u(x))x \mapsto f\big(u(x)\big). Où u:IJu\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}, avec II et JJ deux intervalles.
  • Si la fonction uu est dérivable sur II et que la fonction ff est dérivable sur JJ, alors la fonction xf(u(x))x \mapsto f\big(u(x)\big) est dérivable sur II et a pour dérivée la fonction :

xu(x)×f(u(x))x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction

Étapes d’une étude de fonction :

  • Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
  • Calculer la dérivée ;
  • Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.