Dérivée de 2 fonctions composées

Rappels sur les calculs de dérivées

• Tableau des dérivées de quelques fonctions usuelles vues en première :

• Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et : $(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x)\neq0$ pour tout $x\in I$, alors :
• la fonction $\dfrac {1}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$
• la fonction $\dfrac {u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$
• Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
• $f$ est une fonction dérivable en $a\in I$.
• La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation : $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$
• $f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

• Fonctions de la forme $u^n$ : soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• Si $n \in \mathbb N^*$, alors la fonction $u^n$ est dérivable et : $\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}$
• Si $n$ est un entier strictement négatif et que $u$ ne s’annule pas sur $I$, alors $u^n$ est aussi dérivable et on a la même formule.
• Fonctions de la forme $\sqrt u$ :
• Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$,
• alors la fonction $\sqrt u$ est dérivable sur $I$ et $\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}$.
• Fonctions composées :
• Soit une fonction composée, de forme générale : $x \mapsto f\big(u(x)\big)$. Où $u\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$, avec $I$ et $J$ deux intervalles.
• Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $J$, alors la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction :

$$x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}$$

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction

Étapes d’une étude de fonction :

• Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
• Calculer la dérivée ;
• Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
• Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.