Dérivée de 2 fonctions composées : Fiche de révision de Tle

Rappels sur les calculs de dérivées

$f(x)$	$f^\prime(x)$	$f$ est dérivable sur :
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$	$a$	$\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$	$nx^{n-1}$	$\mathbb R \text{ si } n\geq 0$ $\mathbb R^* \text{ si } n<0$
$\dfrac 1x$	$-\dfrac 1{x^2}$	$\mathbb R^*$
$\sqrt x$	$\dfrac 1{2\sqrt x}$	$]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$	$\text e^x$	$\mathbb R$

Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et : $(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , avec $v(x)\neq0$ pour tout $x\in I$ , alors :
la fonction $\dfrac {1}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$
la fonction $\dfrac {u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$
Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
$f$ est une fonction dérivable en $a\in I$ .
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation : $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$
$f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Fonctions de la forme $u^n$ : soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .
Si $n \in \mathbb N^*$ , alors la fonction $u^n$ est dérivable et : $\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}$
Si $n$ est un entier strictement négatif et que $u$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $u^n$ est aussi dérivable et on a la même formule.
Fonctions de la forme $\sqrt u$ :
Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ ,
alors la fonction $\sqrt u$ est dérivable sur $I$ et $\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}$ .
Fonctions composées :
Soit une fonction composée, de forme générale : $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ . Où $u\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$ , avec $I$ et $J$ deux intervalles.
Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $J$ , alors la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction :

$x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}$

Étapes d’une étude de fonction :

Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
Calculer la dérivée ;
Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.