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Dérivée de 2 fonctions composées

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Rappels sur les calculs de dérivées

  • Tableau des dérivées de quelques fonctions usuellesvues en première :

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur :
ax+b (a et bR)ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R) aa R\mathbb R
xn (nZ)x^n\ (n\in \mathbb Z) nxn1nx^{n-1} R si n0\mathbb R \text{ si } n\geq 0

R si n<0\mathbb R^* \text{ si } n<0</span

1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R*\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
  • Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, alors la fonction uvuv est dérivable sur II et : (uv)=uv+uv(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}
  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xIx\in I, alors :
  • la fonction 1v\dfrac {1}{v} est dérivable sur II et : (1v)=vv2\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}
  • la fonction uv\dfrac {u}{v} est dérivable sur II et : (uv)=uvuvv2\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}
  • Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
  • ff est une fonction dérivable en aIa\in I.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation : y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)
  • f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

  • Fonctions de la forme unu^n : soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.((bulle,1))

  • Si nNn \in \mathbb N^*, alors la fonction unu^n est dérivable et : (un)=nuun1\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}

  • Si nn est un entier strictement négatif et que uu ne s’annule pas sur II, alors unu^n est aussi dérivable et on a la même formule.

  • Fonctions de la forme u\sqrt u :((bulle,2))

  • Si uu est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle II,

  • alors la fonction u\sqrt u est dérivable sur II et (u)=u2u\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}.((fleche,0,milieu))

  • Fonctions composées :((bulle,3))

  • Soit une fonction composée, de forme générale : xf(u(x))x \mapsto f\big(u(x)\big). Où u:IJu\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}, avec II et JJ deux intervalles.

  • Si la fonction uu est dérivable sur II et que la fonction ff est dérivable sur JJ, alors la fonction xf(u(x))x \mapsto f\big(u(x)\big) est dérivable sur II et a pour dérivée la fonction :

xu(x)×f(u(x))x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction

Étapes d’une étude de fonction :

  • Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
  • Calculer la dérivée ;
  • Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.