Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Compléments sur la dérivation

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Rappels

  • Dérivées des fonctions de référence

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur
ax+b (a et bR)ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R) aa R\mathbb R
xn (nZ)x^n\ (n\in \mathbb Z) nxn1nx^{n-1} R si n0\mathbb R \text{ si } n\geq 0

R si n<0\mathbb R^* \text{ si } n<0</span

1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
  • Opération sur les dérivées
  • uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II.

u×vu\times v est dérivable sur II (u×v)=uv+uv(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}
Si vv ne s’annule pas sur II,

1v\frac 1v et uv\frac uv sont dérivables sur II</span

(1v)=vv2\left(\dfrac 1v\right)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}
(uv)=uvuvv2\left(\dfrac {u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}
  • ff est une fonction dérivable en aIa\in I.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

Nouvelles formules de dérivées

  • Soit la fonction xax+bx\mapsto ax+b (aa et bb réels) définie et dérivable sur II, à valeurs dans JJ.
    Soit la fonction ff définie et dérivable sur JJ.
  • Alors xf(ax+b)x\mapsto f(ax+b) est dérivable sur II et sa dérivée est :

xaf(ax+b)x\mapsto af^{\prime}(ax+b)

  • Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.
  • La fonction u2u^2 est dérivable sur II et :

(u2)=2uu(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u

  • La fonction eu{\text{e}}^u est dérivable sur II et :

(eu)=u×eu(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u

  • Soit uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
  • Alors la fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

Méthodologie pour l’étude de fonction

  • Calculer la dérivée.
  • Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
  • Calculer les éventuels extremums et les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction.
  • Récapituler les informations dans un tableau de signe et de variations.
  • Tracer la courbe représentative de la fonction.