Compléments sur la dérivation : Résumé et révision - Mathématiques

Rappels

$f(x)$	$f^\prime(x)$	$f$ est dérivable sur
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$	$a$	$\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$	$nx^{n-1}$	$\mathbb R \text{ si } n\geq 0$ $\mathbb R^* \text{ si } n<0$
$\dfrac 1x$	$-\dfrac 1{x^2}$	$\mathbb R^*$
$\sqrt x$	$\dfrac 1{2\sqrt x}$	$]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$	$\text e^x$	$\mathbb R$

u\times v

est dérivable sur

I

(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}

v

ne s’annule pas sur

I

$\frac 1v$ et $\frac uv$ sont dérivables sur $I$

\left(\dfrac 1v\right)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}

\left(\dfrac {u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}

$f$ est une fonction dérivable en $a\in I$ .
La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation :

$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$

Soit la fonction $x\mapsto ax+b$ ( $a$ et $b$ réels) définie et dérivable sur $I$ , à valeurs dans $J$ .
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $J$ .
Alors $x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$x\mapsto af^{\prime}(ax+b)$

$(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u$

$(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u$

Soit $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ .
Alors la fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$

Calculer la dérivée.
Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
Calculer les éventuels extremums et les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction.
Récapituler les informations dans un tableau de signe et de variations.
Tracer la courbe représentative de la fonction.