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Compléments sur la dérivation

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2023. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Rappels

  • Dérivées des fonctions de référence

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur
ax+b (a et bR)ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R) aa R\mathbb R
xn (nZ)x^n\ (n\in \mathbb Z) nxn1nx^{n-1} R si n0\mathbb R \text{ si } n\geq 0

R si n<0\mathbb R^* \text{ si } n<0</span

1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
  • Opération sur les dérivées
  • uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II.

u×vu\times v est dérivable sur II (u×v)=uv+uv(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}
Si vv ne s’annule pas sur II,

1v\frac 1v et uv\frac uv sont dérivables sur II</span

(1v)=vv2\left(\dfrac 1v\right)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}
(uv)=uvuvv2\left(\dfrac {u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}
  • ff est une fonction dérivable en aIa\in I.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

Nouvelles formules de dérivées

  • Soit la fonction xax+bx\mapsto ax+b (aa et bb réels) définie et dérivable sur II, à valeurs dans JJ.
    Soit la fonction ff définie et dérivable sur JJ.
  • Alors xf(ax+b)x\mapsto f(ax+b) est dérivable sur II et sa dérivée est :

xaf(ax+b)x\mapsto af^{\prime}(ax+b)

  • Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.
  • La fonction u2u^2 est dérivable sur II et :

(u2)=2uu(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u

  • La fonction eu{\text{e}}^u est dérivable sur II et :

(eu)=u×eu(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u

  • Soit uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
  • Alors la fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

Méthodologie pour l’étude de fonction

  • Calculer la dérivée.
  • Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
  • Calculer les éventuels extremums et les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction.
  • Récapituler les informations dans un tableau de signe et de variations.
  • Tracer la courbe représentative de la fonction.