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Compléments sur la dérivation

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Celles présentes sont juste des « brouillons »
afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

😉

Introduction :

En première, nous avons vu la notion de dérivée d’une fonction. Nous allons ici en faire des rappels, avant de découvrir de nouvelles formules de dérivées spécifiques. Enfin, nous appliquerons la notion de dérivée en étudiant une fonction.

Rappels sur les calculs de dérivées

Commençons par nous remémorer les dérivées de quelques fonctions usuelles, que nous avons vues en première.

bannière à retenir

À retenir

f(x)f(x) f(x)f^\prime(x) ff est dérivable sur
ax+b (a et bR)ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R) aa R\mathbb R
xn (nZ)x^n\ (n\in \mathbb Z) nxn1nx^{n-1} R si n0\mathbb R \text{ si } n\geq 0

R si n<0\mathbb R^* \text{ si } n<0</span

1x\dfrac 1x 1x2-\dfrac 1{x^2} R\mathbb R^*
x\sqrt x 12x\dfrac 1{2\sqrt x} ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[
ex\text e^x ex\text e^x R\mathbb R
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Exemple

Dérivons, par exemple, la fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R}^* telle que : f(x)=x4+2x+3xf(x)=x^4+2x+\dfrac 3x.

  • Pour tout xRx\in\mathbb{R}^* :

f(x)=4x3+23x2f^{\prime}(x)=4x^3+2-\dfrac {3}{x^2}

Revoyons maintenant les formules de dérivation pour un produit et un quotient de deux fonctions.

bannière propriete

Propriété

  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, alors la fonction u×vu \times v est dérivable sur II et :

(u×v)=uv+uv(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}

  • Si uu et vv sont deux fonctions dérivables sur un intervalle II, avec v(x)0v(x)\neq0 pour tout xIx\in I, alors :
  • la fonction 1v\dfrac {1}{v} est dérivable sur II et :

(1v)=vv2\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}

  • la fonction uv\dfrac {u}{v} est dérivable sur II et :

(uv)=uvuvv2\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}

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Exemple

Soit gg la fonction définie sur R+\mathbb R^{+} par : g(x)=(2x+5)xg(x)=(2x+5)\sqrt x.

La fonction gg est le produit des deux fonctions : x2x+5x\mapsto 2x+5, dérivable sur R\mathbb R, et xxx\mapsto \sqrt x, dérivable sur R+\mathbb{R}^{*+}.

  • gg est dérivable sur R+\mathbb{R}^{*+}.
  • Posons :
  • u(x)=2x+5u(x)=2x+5, nous obtenons u(x)=2u^{\prime}(x) =2 ;
  • v(x)=xv(x)=\sqrt x, nous obtenons v(x)=12xv^{\prime} (x)=\frac{1}{2\sqrt x}.
  • Utilisons la formule de la dérivée d’un produit : (u×v)=uv+uv(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime} .

Pour tout x>0x > 0 :

g(x)=2×x+(2x+5)×12x=2x+2x+52x=2x×2x2x+2x+52x=4x+2x+52x=6x+52x\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=2\times \sqrt x +(2x+5)\times \dfrac {1}{2\sqrt x} \ &=2\sqrt x + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x} \ &= \dfrac { 2\sqrt x \times 2\sqrt x }{2\sqrt x} + \dfrac {2x+5}{2\sqrt x} \ &= \dfrac {4x+2x+5}{2\sqrt x} \ & = \dfrac {6x+5}{2\sqrt x} \end{aligned}

Enfin, terminons ces rappels en redonnant l’équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction.

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À retenir

ff est une fonction dérivable en aIa\in I. La tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point AA d’abscisse aa est la droite d’équation :

y=f(a)(xa)+f(a)y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)

  • f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

Ces rappels faits, nous pouvons découvrir de nouvelles formules, qui nous permettront d’étudier des fonctions plus complexes.

Fonctions de la forme xf(ax+b)x\mapsto f(ax+b)

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Propriété

Soit la fonction xax+bx\mapsto ax+b (aa et bb réels) définie et dérivable sur II, à valeurs dans JJ.
Soit la fonction ff définie et dérivable sur JJ.
Alors la fonction xf(ax+b)x\mapsto f(ax+b) est dérivable sur II et sa dérivée est la fonction :

xaf(ax+b)x\mapsto af^{\prime}(ax+b)

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Exemple

Soit la fonction gg définie sur R+\mathbb R^+ par : g(x)=2x+3g(x)=\sqrt{2x+3}.

Considérons la fonction racine carrée f:xf(x)=xf:x\mapsto f(x)=\sqrt{x}, définie et dérivable sur R+\mathbb R^{*+}.
Et, pour tout xx strictement positif :

f(x)=12xf^{\prime}(x)=\dfrac 1{2\sqrt{x}}

Nous avons ainsi, pour tout xx positif :

g(x)=f(2x+3)g(x)=f(2x+3)

Comme, pour tout x0x \geq 0, 2x+3>02x+3>0, la fonction gg est dérivable sur R+\mathbb R^+.

  • Pour tout xx positif, nous avons finalement :

g(x)=2×f(2x+3)=2×122x+3=12x+3\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=2\times f^{\prime}(2x+3) \ &=2\times \dfrac 1{2\sqrt{2x+3}} \ &= \dfrac 1{\sqrt{2x+3}} \end{aligned}

Fonctions de la forme u2u^2

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Propriété

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.
Alors la fonction u2u^2 est dérivable sur II et :

(u2)=2uu(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u

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Exemple

Prenons un exemple et dérivons la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=(3x2+4)2f(x) =(-3x^2+4)^2.

  • On reconnaît la forme u2u^2, avec u(x)=3x2+4u(x)=-3x^2+4.
  • uu est dérivable sur R\mathbb R, donc ff est dérivable sur R\mathbb R.
  • On dérive uu pour pouvoir appliquer la formule : (u2)=2uu(u^2)^{\prime} =2u^{\prime} u.
  • On obtient : u(x)=6xu^{\prime} (x)=-6x.
  • Enfin, pour tout nombre réel xx :

f(x)=2×(6x)×(3x2+4)=12x(3x2+4)\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=2\times(-6x) \times (-3x^2+4)\ &=-12x(-3x^2+4) \end{aligned}

Fonctions de la forme eu\text{e}^u

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Propriété

Soit uu une fonction dérivable sur un intervalle II.
Alors la fonction eu{\text{e}}^u est dérivable sur II et :

(eu)=u×eu(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u

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Exemple

On considère la fonction f:xex2f:x\mapsto {\text{e}}^{-x^2} définie sur R\mathbb{R}.

  • On reconnaît la forme eue^u, avec u(x)=x2u(x)=-x^2.
  • uu est dérivable sur R\mathbb R, donc ff est dérivable sur R\mathbb R.
  • On dérive uu pour pouvoir appliquer la formule : (eu)=u×eu(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u .
  • On obtient : u(x)=2xu^{\prime} (x)=-2x.
  • Enfin, pour tout nombre réel xx :

(eu)(x)=u(x)×(eu)(x)=2xex2\begin{aligned} (\text{e}^u)^{\prime} (x)&= u^{\prime} (x) \times ({\text{e}}^u)(x) \ &= -2x {\text{e}}^{-x^2} \end{aligned}

Nous pouvons utiliser la dernière formule pour démontrer que, pour tout réel x>0x > 0 :

ln(x)=1x\ln^{\prime}{(x)} = \frac{1}{x}

Considérons la fonction ff définie sur R+\mathbb R^{*+} par :

f(x)=eln(x)f(x)= \text{e}^{\ln{(x)}}

  • D’une part, comme les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques, nous avons, pour tout x>0x>0 :

f(x)=xf(x) = x

  • Donc, pour tout x>0x>0 :

f(x)=1f^{\prime}(x)=1

  • D’autre part, en utilisant la propriété donnée ci-dessus, nous avons, pour tout x>0x>0 :

f(x)=ln(x)×eln(x)=ln(x)×x\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\ln^{\prime}{(x)}\times \text{e}^{\ln{(x)}} \ &=\ln^{\prime}{(x)}\times x \end{aligned}

  • Ainsi, pour tout x>0x>0 :

xln(x)=1ln(x)=1xx\ln^{\prime}{(x)}=1\Leftrightarrow \ln^{\prime}{(x)}=\dfrac 1x

Nous allons maintenant voir une généralisation de cette formule.

Fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)}

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Propriété

Soit uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
Alors la fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

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Exemple

On considère la fonction g:xln(2x+6)g:x\mapsto \ln{(2x+6)} sur l’intervalle I=]3 ;+[I=] -3\ ;\, +\infty[.

Posons u(x)=2x+6u(x) = 2x+6.
Pour tout xIx\in I, u(x)>0u(x) > 0, donc la fonction gg est définie et dérivable sur II.

Nous avons, pour tout xIx\in I : u(x)=2u^{\prime}(x) = 2.

  • Nous obtenons, pour tout xIx\in I :

g(x)=u(x)u(x)=22x+6=1x+3\begin{aligned} g^{\prime} (x) &= \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)} \ &=\dfrac{2}{2x+6} \ &= \dfrac{1}{x+3} \end{aligned}

Exemple d’étude de fonction

Nous allons maintenant appliquer les propriétés découvertes sur l’étude complète d’une fonction.

  • Soit la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=ex2f(x)= \text{e}^{-x^2}

  • Calcul de la dérivée

Posons, pour tout xx réel, u(x)=x2u(x) = -x^2.
uu est dérivable sur R\mathbb R et, pour tout xx réel :

u(x)=2xu^{\prime}(x)=-2x

  • La fonction ff est donc dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx réel, nous avons :

f(x)=(eu)(x)=u(x)×eu(x)=2xex2\begin{aligned} f^{\prime} (x) &= (\text{e}^u)^{\prime} (x) \ &= u^{\prime} (x) \times \text{e}^{u(x)} \ &= -2x {\text{e}}^{-x^2} \end{aligned}

  • Étude du signe de ff^{\prime} et des variations de ff

Pour tout xx, ex2>0\text{e}^{-x^2} > 0, car la fonction exponentielle est strictement positive.

  • Donc le signe de f(x)f^{\prime} (x) est celui de 2x-2x.

On a donc :

f(x)=0x=0f(x)>02x>0x<0f(x)<02x<0x>0\begin{aligned} f^{\prime} (x) = 0 &\Leftrightarrow x = 0 \ \ f^{\prime} (x) > 0 &\Leftrightarrow -2x > 0 \ &\Leftrightarrow x < 0 \ \ f^{\prime} (x) < 0 &\Leftrightarrow -2x < 0 \ &\Leftrightarrow x > 0 \end{aligned}

  • ff est strictement croissante sur ] ;0]]-\infty\ ;\, 0],
  • ff est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[.
  • Extremum et limites aux bornes de l’ensemble de définition de ff
  • Commençons par calculer l’extremum :

f(0)=e0=1f(0)=\text{e}^0=1

  • Calculons maintenant la limite en -\infty.

Posons X=x2X = -x^2.
Quand xx tend vers -\infty, x2x^2 tend vers ++\infty, donc X=x2X = -x^2 tend vers -\infty.

  • On a donc, d’après ce que nous avons vu dans le cours sur les limites :

limxex2=limXeX=0\lim{x\to -\infty} {\text{e}}^{-x^2} = \lim{X\to -\infty} {\text{e}}^X = 0

  • Terminons par la limite en ++\infty.

Posons X=x2X = -x^2.
Quand xx tend vers ++\infty, x2x^2 tend vers ++\infty, donc X=x2X = -x^2 tend vers -\infty.

  • On a donc, toujours d’après ce que nous avons vu dans le cours sur les limites :

limx+ex2=limXeX=0\lim{x\to +\infty} {\text{e}}^{-x^2} = \lim{X\to -\infty} {\text{e}}^X = 0

  • Tableau de variations de ff

Alt texte

  • Représentation graphique de la fonction ff

Alt texte

bannière astuce

Astuce

Nous pouvons remarquer que la fonction ff est paire, c’est-à-dire que sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

  • En effet, pour tout xx réel, x-x est aussi un nombre réel et :

f(x)=e(x)2=ex2=f(x)\begin{aligned} f(-x) &= {\text{e}}^{-(-x)^2} \ &= {\text{e}}^{-x^2} \ &= f(x) \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons revu les formules de dérivation de première et en avons découvert de nouvelles.
Puis nous avons mis en pratique une de ces formules et avons calculé des limites, afin de mener l’étude d’une fonction.