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Les images ne sont pas encore disponibles pour ce cours. Celles présentes sont juste des « brouillons » Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite. 😉 |
Introduction :
En première, nous avons vu la notion de dérivée d’une fonction. Nous allons ici en faire des rappels, avant de découvrir de nouvelles formules de dérivées spécifiques. Enfin, nous appliquerons la notion de dérivée en étudiant une fonction.
Rappels sur les calculs de dérivées
Commençons par nous remémorer les dérivées de quelques fonctions usuelles, que nous avons vues en première.
est dérivable sur | ||
</span |
||
Dérivons, par exemple, la fonction définie et dérivable sur telle que : .
Revoyons maintenant les formules de dérivation pour un produit et un quotient de deux fonctions.
Soit la fonction définie sur par : .
La fonction est le produit des deux fonctions : , dérivable sur , et , dérivable sur .
Pour tout :
Enfin, terminons ces rappels en redonnant l’équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction.
est une fonction dérivable en . La tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse est la droite d’équation :
Nouvelles formules de dérivées
Ces rappels faits, nous pouvons découvrir de nouvelles formules, qui nous permettront d’étudier des fonctions plus complexes.
Fonctions de la forme
Soit la fonction ( et réels) définie et dérivable sur , à valeurs dans .
Soit la fonction définie et dérivable sur .
Alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction :
Soit la fonction définie sur par : .
Considérons la fonction racine carrée , définie et dérivable sur .
Et, pour tout strictement positif :
Nous avons ainsi, pour tout positif :
Comme, pour tout , , la fonction est dérivable sur .
Fonctions de la forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
Alors la fonction est dérivable sur et :
Prenons un exemple et dérivons la fonction définie sur par : .
Fonctions de la forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
Alors la fonction est dérivable sur et :
On considère la fonction définie sur .
Nous pouvons utiliser la dernière formule pour démontrer que, pour tout réel :
Considérons la fonction définie sur par :
Nous allons maintenant voir une généralisation de cette formule.
Fonctions de la forme
Soit une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle .
Alors la fonction est dérivable sur et :
On considère la fonction sur l’intervalle .
Posons .
Pour tout , , donc la fonction est définie et dérivable sur .
Nous avons, pour tout : .
Exemple d’étude de fonction
Nous allons maintenant appliquer les propriétés découvertes sur l’étude complète d’une fonction.
Posons, pour tout réel, .
est dérivable sur et, pour tout réel :
Pour tout , , car la fonction exponentielle est strictement positive.
On a donc :
Posons .
Quand tend vers , tend vers , donc tend vers .
Posons .
Quand tend vers , tend vers , donc tend vers .
Nous pouvons remarquer que la fonction est paire, c’est-à-dire que sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons revu les formules de dérivation de première et en avons découvert de nouvelles.
Puis nous avons mis en pratique une de ces formules et avons calculé des limites, afin de mener l’étude d’une fonction.