Cours : Loi des grands nombres et concentration

La consommation d’eau quotidienne, en litres, d’un·e Français·e pris·e au hasard dans la population est donnée par la variable aléatoire $C$ d’espérance $\mu= 130$ et de variance $V=750$.
Nous nous intéressons à la probabilité que l’écart entre $C$ et l’espérance soit supérieur à $50$ litres.

On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta = 50$ :

$p\big(\vert C-\mu\vert \geq 50\big) \textcolor{FF4500}\leq \dfrac{V}{50^2} \Leftrightarrow p\big(\vert C-130\vert \geq 50\big) \textcolor{FF4500}\leq \dfrac{750}{50^2}= 0,3$

Pour bien comprendre ce que cela signifie, donnons l’équivalence suivante :

$\begin{aligned} \vert C-130 \vert \geq 50&\Leftrightarrow \begin{cases} C-130\leq -50 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :\ }} \ C-130 \geq 50 \end{cases} \ &=\begin{cases} C\leq 80 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :\ }} \ C\geq 180 \end{cases} \end{aligned}$

• Ainsi, la probabilité qu’un·e Français·e pris·e au hasard ait une consommation inférieure à $80$ litres ou supérieure à $180$ litres est inférieure ou égale à $0,3$.
• Autrement dit, la probabilité qu’un·e Français·e pris·e au hasard ait une consommation comprise entre $80$ et $180$ litres est supérieure à $0,7$.
• Ou encore, si nous choisissons au hasard un·e Français·e, il y a au moins $70\,\%$ de chance pour qu’il ou elle consomme entre $80$ et $180$ litres d’eau par jour.

Soit la variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,45$.

• Commençons par calculer son espérance $\mu$, sa variance $V$ et son écart-type $\sigma$ grâce aux propriétés de la loi binomiale que nous avons découvertes dans le cours précédent :

$\begin{aligned} \mu&=np \ &=150\times 0,45 \ &=67,5 \ \ V&=np(1-p) \ &=150\times 0,45\times 0,55 \ &=37,125 \ \ \sigma&=\sqrt{V} \ &=\sqrt{37,125} \end{aligned}$

• Appliquons l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=2\sigma$, en remarquant que $V=\sigma^2$ :

$\begin{aligned} p\big(\vert X-\mu \vert \geq 2\sigma \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} \ \Leftrightarrow p\big(\vert X-67,5 \vert \geq 2\sqrt{37,125} \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{\sqrt{37,125}^2}{(2\sqrt{37,125})^2} \ &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{1}{4}=0,25 \end{aligned}$

• Cela signifie que la probabilité que l’écart entre $X$ et $\mu$ soit supérieur à $2\sigma$ est inférieure à $0,25$, ce qui revient à dire que la probabilité que l’écart entre $X$ et $\mu$ soit inférieur à $2\sigma$ est supérieure à $0,75$.
• Continuons maintenant d’appliquer cette inégalité avec des écarts de $3\sigma$, $4\sigma$, $5\sigma$.

$\begin{aligned} p\big(\vert X-67,5 \vert \geq 3\sqrt{37,125} \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{\sqrt{37,125}^2}{(3\sqrt{37,125})^2} \ &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{1}{9}\approx 0,111 \ \ p\big(\vert X-67,5 \vert \geq 4\sqrt{37,125} \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{\sqrt{37,125}^2}{(4\sqrt{37,125})^2} \ &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{1}{16}=0,0625 \ \ p\big(\vert X-67,5 \vert \geq 5\sqrt{37,125} \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{\sqrt{37,125}^2}{(5\sqrt{37,125})^2} \ &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{1}{25}=0,04 \end{aligned}$

• Nous voyons que la probabilité d’avoir un écart supérieur à quelques $\sigma$ ira en diminuant si on augmente le nombre de $\delta$.

Un institut politique a pour projet de constituer un échantillon de personnes tirées au sort parmi celles inscrites sur les listes électorales. Il s’intéresse plus particulièrement à leur participation au premier tour des dernières élections.
Sachant que la participation était de $45\,\%$ et afin d’avoir une représentativité la plus fidèle du corps électoral, l’institut souhaite connaître la taille minimale de l’échantillon à constituer pour être sûr, au moins à $95\ \%$, que le taux de participation en son sein sera compris entre $41\,\%$ et $49\,\%$.
Nous considérons en outre que le nombre d’inscrits sur les listes électorales est suffisamment grand pour que la constitution de l’échantillon soit assimilée à un tirage avec remise.

• Soit la variable aléatoire $X$ qui, pour chaque personne tirée au sort, prend la valeur $1$ si elle a voté et $0$ si elle s’est abstenue.

La variable $X$ suit une loi de Bernoulli, de paramètre $p=0,45$.

• Nous en déduisons l’espérance $\mu$ et la variance $V$ :

$\begin{aligned} \mu&=p \ &=0,45 \ V&=p(1-p) \ &=0,45\times 0,55 \ &=0,2475 \end{aligned}$

• Traduisons mathématiquement l’énoncé.

Considérons d’abord $(X$1,\,X2,\,…,\,Xn)(X1​,X2​,…,Xn​) un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$.
Considérons ensuite $M$n, la variable aléatoire moyenne de l’échantillon.

• Elle donnera le taux de participation dans cet échantillon.

Nous souhaitons donc trouver $n$ tel que la probabilité que $M_n$ soit comprise entre $0,41$ ($41\,\%$) et $0,49$ ($49\,\%$) est supérieure ou égale à $0,95$ ($95\,\%$) :

$p\big(0,41< M_n < 0,49\big) \textcolor{#FF4500}\geq 0,95$

• Cela doit nous faire penser immédiatement à l’inégalité de concentration.

Il faut donc commencer par faire apparaître l’écart entre $M_n$ et l’espérance $\mu=0,45$ de $X$ :

$\begin{aligned} 0,41< M$n < 0,49 &\Leftrightarrow 0,41-\mu< Mn-\mu < 0,49-\mu \ &\Leftrightarrow 0,41-0,45< Mn-0,45 < 0,49-0,45 \ &\Leftrightarrow -0,04< Mn-0,45 < 0,04 \ &\Leftrightarrow\vert M_n-0,45\vert < 0,04 \end{aligned}

• Nous obtenons donc :

$p\big( 0,41< M$n < 0,49\big) = p\big(\vert Mn-0,45\vert < 0,04\big) \textcolor{#FF4500}\geq 0,95

• Ensuite, pour nous rapprocher de l’inégalité de concentration, nous allons nous intéresser à l’événement contraire : $\vert M_n-0,45\vert \geq 0,04$ :

$p\big(\vert M$n-0,45\vert < 0,04\big)=1- p\big(\vert Mn-0,45\vert \geq 0,04\big)

Nous obtenons alors :

$\begin{aligned} p\big(\vert M$n-0,45\vert < 0,04\big) &\textcolor{#FF4500}\geq 0,95 \ \Leftrightarrow 1- p\big(\vert Mn-0,45\vert \geq 0,04\big) &\textcolor{#FF4500}\geq 0,95 \ \Leftrightarrow p\big(\vert M_n-0,45\vert \geq 0,04\big) &\textcolor{#FF4500}\leq 0,05 \end{aligned}

• $M_n$ est obtenu avec une précision de $0,04$ et un risque de $5\,\%$.
• Nous pouvons donc maintenant appliquer l’inégalité de concentration (avec $\delta=0,04$) :

$p\big(\vert M_n-0,45\vert \geq 0,04\big) \textcolor{#FF4500}\leq \dfrac V{n\times 0,04^2}$

Pour que cette probabilité soit inférieure à $0,05$, il suffit que $\frac V{n\times 0,04^2}$ soit inférieur à $0,05$.
On résout donc cette dernière inégalité pour estimer la taille $n$ de l’échantillon qui correspond aux conditions de l’énoncé.

$\begin{aligned} \dfrac {V}{n\times 0,04^2} \leq 0,05 &\Leftrightarrow \dfrac {0,2475}{n\times 0,04^2} \leq 0,05 \ &\Leftrightarrow n \geq \dfrac{0,2475}{0,04^2\times 0,05} \ &\Leftrightarrow n\geq 3\,093,75 \ \end{aligned}$

• $n$ doit donc être un entier supérieur ou égal à $3\,093,75$, soit :

$n\geq 3\,094$

• Pour être sûr au moins à $95\,\%$ que, dans l’échantillon, le taux de participation au premier tour des élections les plus récentes sera compris entre $41\,\%$ et $49\,\%$, l’institut devra constituer un échantillon d’au moins $3\,094$ personnes.

Vérifions notre résultat en prenant un échantillon de $3\,100$ personnes. L’inégalité de concentration donne alors :

$p\big(\vert M_{3\,100}-0,45\vert \geq 0,04\big) \textcolor{#FF4500}\leq \dfrac {0,2475}{3\,100\times 0,04^2}$

Ce qui est équivalent à :

$p\big(\vert M_{3\,100}-0,45\vert < 0,04\big) \textcolor{#FF4500}\geq 1-\dfrac {0,2475}{3\,100\times 0,04^2}\approx 0,9501$

• Dans un échantillon de $3\,100$ personnes, le taux de participation sera compris entre $41\,\%$ et $49\,\%$ avec un degré de confiance d’au moins $95\,\%$.

Remarquons que, si l’institut considérait que l’échantillon était trop grand à constituer, pour des raisons économiques ou d’organisation, il devrait accepter soit d’agrandir l’intervalle possible pour la moyenne – au risque d’avoir une majorité de votants dans l’échantillon, ce qui ne refléterait pas la réalité –, soit d’avoir un degré de confiance moindre.