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Concentration, loi des grands nombres

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L’objectif de cette section est d’une part d’approfondir le sens de l’écart-type comme mesure de dispersion, d’autre part de couronner la partie « Probabilités » par la loi des grands nombres, qui est le premier résultat fondamental de la théorie des probabilités et dont les implications sont considérables.

Pour cela, l’outil employé est l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev dont l’idée fondamentale est mise en valeur : l’écart type σ\sigma d’une variable aléatoire XX est l’unité naturelle pour étudier la dispersion de XX autour de son espérance μ\mu ; par construction, il est naturel d’observer des écarts de XX à μ\mu en deçà ou delà de σ\sigma. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev montre qu’en revanche des écarts de XX à μ\mu de quelques σ\sigma deviennent improbables. Ce résultat, d’une importance majeure en lui-même, permet de plus d’établir la loi des grands nombres, selon laquelle l’écart entre la moyenne d’un échantillon d’une variable aléatoire et l’espérance de cette variable ne dépasse une valeur donnée à l’avance qu’avec une probabilité qui tend vers zéro quand la taille de l’échantillon tend vers l’infini.

Il est utile de faire remarquer aux élèves que le caractère universel de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev a pour contrepartie le fait qu’elle est loin d’être optimale : ainsi, elle montre qu’un écart à μ\mu supérieur à 2σ2\sigma est de probabilité inférieure ou égale à 14\frac 1 4, alors que les élèves ont découvert par simulation que cette probabilité est souvent majorée par 0,050,05. En avoir conscience ne diminue pas l’intérêt théorique de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et permet de mettre en évidence des cas de raisonnement par conditions suffisantes, par exemple la recherche d’une taille d’échantillon pour majorer une probabilité.

Contenus

  • Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour une variable aléatoire XX d’espérance μ\mu et de variance VV, et quel que soit le réel strictement positif δ\delta :

P(Xμδ)V(X)δ2P\big(\vert X-\mu\vert\geq\delta\big)\leq\dfrac{V(X)}{\delta^2}

  • Inégalité de concentration. Si MnM_n est la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille nn d’une variable aléatoire d’espérance μ\mu et de variance VV, alors pour tout δ>0\delta>0,

P(Mnμδ)V(X)nδ2P\big(\vert M_n-\mu\vert\geq\delta\big)\leq\dfrac{V(X)}{n\delta^2}

  • Loi des grands nombres.

Capacité attendue

  • Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d’échantillon, en fonction de la précision et du risque choisi.