Soit X une variable aléatoire d’espérance μ et de variance V.
Pour tout réel δ strictement positif, on a :
p(∣X−μ∣≥δ)⇔p(∣X−μ∣<δ)≤δ2V≥1−δ2V
La probabilité que l’écart entre X et son espérance soit supérieur ou égal à δ, est inférieure ou égale à δ2V.
La probabilité que l’écart entre X et son espérance soit strictement inférieur à δ, est supérieure ou égale à 1−δ2V.
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Pour majorer une probabilité d’un événement du type ∣X−E(X)∣≥δ, on pense à appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On calcule, si elles ne sont pas données, l’espérance et la variance de la variable aléatoire.
De manière équivalente, on peut avoir une minoration de la probabilité que X appartienne à un intervalle centré en E(X).
On peut interpréter concrètement les résultats dans les termes de l’énoncé en regardant l’intervalle ]E(X)−δ;E(X)+δ[.
En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l’écart-type σ de X, nous remarquons que des écarts entre X et μ supérieurs à quelques σ deviennent improbables.
Inégalité de concentration
Soit (X1,X2,...,Xn) un échantillon de taille n de la variable aléatoire X, d’espérance μ et de variance V.
Soit Mn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel δ strictement positif :
p(∣Mn−μ∣≥δ)⇔p(∣Mn−μ∣<δ)≤nδ2V≥1−nδ2V
La probabilité que l’écart entre Mn et μ soit supérieur ou égal à δ, est inférieure ou égale à δ2V.
La probabilité que l’écart entre Mn et μ soit strictement inférieur à δ, est supérieure ou égale à 1−δ2V.
On dit qu’on obtient pour Mn une précision de δ et un risque de nδ2V.
L’inégalité de concentration permet notamment de déterminer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque fixés.
Loi des grands nombres
Soit (X1,X2,...,Xn) un échantillon de taille n de la variable aléatoire X, d’espérance μ.
Soit Mn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ :
n→+∞limp(∣Mn−μ∣≥δ)=0
Concrètement, la loi des grands nombres nous dit que la moyenne d’un échantillon d’une variable aléatoire X se rapproche d’autant plus de son espérance que la taille n de l’échantillon est grande.