Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Loi des grands nombres et concentration

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

  • Soit XX une variable aléatoire d’espérance μ\mu et de variance VV.
  • Pour tout réel δ\delta strictement positif, on a :

p(Xμδ)Vδ2p(Xμ<δ)1Vδ2\begin{aligned} p\big(\vert X-\mu \vert \geq \delta \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{V}{\delta^2} \ \Leftrightarrow p\big(\vert X-\mu\vert <\delta\big) &\textcolor{FF4500}\geq 1-\dfrac{V}{\delta^2} \end{aligned}

  • La probabilité que l’écart entre XX et son espérance soit supérieur ou égal à δ\delta, est inférieure ou égale à Vδ2\frac V{\delta^2}.
  • La probabilité que l’écart entre XX et son espérance soit strictement inférieur à δ\delta, est supérieure ou égale à 1Vδ21-\frac V{\delta^2}.

Représentation de la distance de X à µ Représentation de la distance de X à µ

  • Pour majorer une probabilité d’un événement du type XE(X)δ\vert X-E(X)\vert \geq \delta, on pense à appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  • On calcule, si elles ne sont pas données, l’espérance et la variance de la variable aléatoire.
  • De manière équivalente, on peut avoir une minoration de la probabilité que XX appartienne à un intervalle centré en E(X)E(X).
  • On peut interpréter concrètement les résultats dans les termes de l’énoncé en regardant l’intervalle ]E(X)δ ;E(X)+δ[]E(X)-\delta\ ;\,E(X)+ \delta[.
  • En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l’écart-type σ\sigma de XX, nous remarquons que des écarts entre XX et μ\mu supérieurs à quelques σ\sigma deviennent improbables.

Inégalité de concentration

  • Soit (X1,X2,...,Xn)(X1,\,X2,\,…,\,Xn) un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX, d’espérance μ\mu et de variance VV.
    Soit MnM
    n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
  • Pour tout réel δ\delta strictement positif :

p(Mnμδ)Vnδ2p(Mnμ<δ)1Vnδ2\begin{aligned} p\big(\vert Mn-\mu\vert \geq\delta\big) &\textcolor{#FF4500}\leq \dfrac V{n\delta^2} \ \Leftrightarrow p(\vert Mn-\mu\vert <\delta) &\textcolor{#FF4500}\geq 1-\dfrac V{n\delta^2} \end{aligned}

  • La probabilité que l’écart entre MnM_n et μ\mu soit supérieur ou égal à δ\delta, est inférieure ou égale à Vδ2\frac V{\delta^2}.
  • La probabilité que l’écart entre MnM_n et μ\mu soit strictement inférieur à δ\delta, est supérieure ou égale à 1Vδ21-\frac V{\delta^2}.
  • On dit qu’on obtient pour MnM_n une précision de δ\delta et un risque de Vnδ2\frac V{n\delta^2}.
  • L’inégalité de concentration permet notamment de déterminer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque fixés.

Loi des grands nombres

  • Soit (X1,X2,...,Xn)(X1,\,X2,\,…,\,Xn) un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX, d’espérance μ\mu.
    Soit MnM
    n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
  • Pour tout réel strictement positif δ\delta :

limn+p(Mnμδ)=0\lim\limits{n \to +\infty} p\big( \vert Mn-\mu \vert \geq \delta \big)=0

  • Concrètement, la loi des grands nombres nous dit que la moyenne d’un échantillon d’une variable aléatoire XX se rapproche d’autant plus de son espérance que la taille nn de l’échantillon est grande.