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Loi des grands nombres et concentration

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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

  • Soit XX une variable aléatoire d’espérance μ\mu et de variance VV.
  • Pour tout réel δ\delta strictement positif, on a :

p(Xμδ)Vδ2p(Xμ<δ)1Vδ2\begin{aligned} p\big(\vert X-\mu \vert \geq \delta \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{V}{\delta^2} \ \Leftrightarrow p\big(\vert X-\mu\vert <\delta\big) &\textcolor{FF4500}\geq 1-\dfrac{V}{\delta^2} \end{aligned}

  • La probabilité que l’écart entre XX et son espérance soit supérieur ou égal à δ\delta, est inférieure ou égale à Vδ2\frac V{\delta^2}.
  • La probabilité que l’écart entre XX et son espérance soit strictement inférieur à δ\delta, est supérieure ou égale à 1Vδ21-\frac V{\delta^2}.

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  • Pour majorer une probabilité d’un événement du type XE(X)δ\vert X-E(X)\vert \geq \delta, on pense à appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  • On calcule, si elles ne sont pas données, l’espérance et la variance de la variable aléatoire.
  • De manière équivalente, on peut avoir une minoration de la probabilité que XX appartienne à un intervalle centré en E(X)E(X).
  • On peut interpréter concrètement les résultats dans les termes de l’énoncé en regardant l’intervalle ]E(X)δ ;E(X)+δ[]E(X)-\delta\ ;\,E(X)+ \delta[.
  • En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l’écart-type σ\sigma de XX, nous remarquons que des écarts entre XX et μ\mu supérieurs à quelques σ\sigma deviennent improbables.

Inégalité de concentration

  • Soit (X1,X2,...,Xn)(X1,\,X2,\,…,\,Xn) un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX, d’espérance μ\mu et de variance VV.
    Soit MnM
    n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
  • Pour tout réel δ\delta strictement positif :

p(Mnμδ)Vnδ2p(Mnμ<δ)1Vnδ2\begin{aligned} p\big(\vert Mn-\mu\vert \geq\delta\big) &\textcolor{#FF4500}\leq \dfrac V{n\delta^2} \ \Leftrightarrow p(\vert Mn-\mu\vert <\delta) &\textcolor{#FF4500}\geq 1-\dfrac V{n\delta^2} \end{aligned}

  • La probabilité que l’écart entre MnM_n et μ\mu soit supérieur ou égal à δ\delta, est inférieure ou égale à Vδ2\frac V{\delta^2}.
  • La probabilité que l’écart entre MnM_n et μ\mu soit strictement inférieur à δ\delta, est supérieure ou égale à 1Vδ21-\frac V{\delta^2}.
  • On dit qu’on obtient pour MnM_n une précision de δ\delta et un risque de Vnδ2\frac V{n\delta^2}.
  • L’inégalité de concentration permet notamment de déterminer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque fixés.

Loi des grands nombres

  • Soit (X1,X2,...,Xn)(X1,\,X2,\,…,\,Xn) un échantillon de taille nn de la variable aléatoire XX, d’espérance μ\mu.
    Soit MnM
    n la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
  • Pour tout réel strictement positif δ\delta :

limn+p(Mnμδ)=0\lim\limits{n \to +\infty} p\big( \vert Mn-\mu \vert \geq \delta \big)=0

  • Concrètement, la loi des grands nombres nous dit que la moyenne d’un échantillon d’une variable aléatoire XX se rapproche d’autant plus de son espérance que la taille nn de l’échantillon est grande.