Fiche de révision : Loi des grands nombres et concentration

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

• Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $V$.
• Pour tout réel $\delta$ strictement positif, on a :

$$\begin{aligned} p\big(\vert X-\mu \vert \geq \delta \big) &\textcolor{FF4500} \leq \dfrac{V}{\delta^2} \\ \Leftrightarrow p\big(\vert X-\mu\vert <\delta\big) &\textcolor{FF4500}\geq 1-\dfrac{V}{\delta^2} \end{aligned}$$

• La probabilité que l’écart entre $X$ et son espérance soit supérieur ou égal à $\delta$, est inférieure ou égale à $\frac V{\delta^2}$.
• La probabilité que l’écart entre $X$ et son espérance soit strictement inférieur à $\delta$, est supérieure ou égale à $1-\frac V{\delta^2}$.

• Pour majorer une probabilité d’un événement du type $\vert X-E(X)\vert \geq \delta$, on pense à appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• On calcule, si elles ne sont pas données, l’espérance et la variance de la variable aléatoire.
• De manière équivalente, on peut avoir une minoration de la probabilité que $X$ appartienne à un intervalle centré en $E(X)$.
• On peut interpréter concrètement les résultats dans les termes de l’énoncé en regardant l’intervalle $]E(X)-\delta\ ;\,E(X)+ \delta[$.
• En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l’écart-type $\sigma$ de $X$, nous remarquons que des écarts entre $X$ et $\mu$ supérieurs à quelques $\sigma$ deviennent improbables.

Inégalité de concentration

• Soit $(X_1,\,X_2,\,…,\,X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$, d’espérance $\mu$ et de variance $V$.
  Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
• Pour tout réel $\delta$ strictement positif :

$$\begin{aligned} p\big(\vert M_n-\mu\vert \geq\delta\big) &\textcolor{#FF4500}\leq \dfrac V{n\delta^2} \\ \Leftrightarrow p(\vert M_n-\mu\vert <\delta) &\textcolor{#FF4500}\geq 1-\dfrac V{n\delta^2} \end{aligned}$$

• La probabilité que l’écart entre $M_n$ et $\mu$ soit supérieur ou égal à $\delta$, est inférieure ou égale à $\frac V{\delta^2}$.
• La probabilité que l’écart entre $M_n$ et $\mu$ soit strictement inférieur à $\delta$, est supérieure ou égale à $1-\frac V{\delta^2}$.
• On dit qu’on obtient pour $M_n$ une précision de $\delta$ et un risque de $\frac V{n\delta^2}$.
• L’inégalité de concentration permet notamment de déterminer la taille d’un échantillon en fonction d’une précision et d’un risque fixés.

Loi des grands nombres

• Soit $(X_1,\,X_2,\,…,\,X_n)$ un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$, d’espérance $\mu$.
  Soit $M_n$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
• Pour tout réel strictement positif $\delta$ :

$$\lim\limits_{n \to +\infty} p\big( \vert M_n-\mu \vert \geq \delta \big)=0$$

• Concrètement, la loi des grands nombres nous dit que la moyenne d’un échantillon d’une variable aléatoire $X$ se rapproche d’autant plus de son espérance que la taille $n$ de l’échantillon est grande.