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Continuité des fonctions d’une variable réelle

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Introduction :

Ce cours va nous permettre de compléter encore l’étude de fonctions.
Nous aborderons ainsi le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.

Continuité

Rappel sur la dérivabilité d’une fonction

Commençons par faire quelques petits rappels sur la dérivation de fonctions.

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II contenant aa.

  • f(a+h)f(a)h\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} est le taux d’accroissement entre aa et a+ha+h.
  • Dire que ff est dérivable en aa de nombre dérivé noté f(a)f^{\prime}(a) (réel), c’est dire que :

lim{h0}f(a+h)f(a)h=f(a)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f^{\prime}(a)

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Astuce

Pour étudier la dérivabilité de ff en aa, on calcule la limite quand hh tend vers 00 de f(a+h)f(a)h\frac {f(a+h)-f(a)} {h} :

  • si cette limite est un nombre réel, on dit que ff est dérivable en aa ;
  • si cette limite est infinie, ou si elle n’existe pas (par exemple si la limite à gauche est différente de la limite à droite), on dit que ff n’est pas dérivable en aa.
bannière exemple

Exemple

Soit ff la fonction définie sur l’intervalle R\mathbb {R} par f(x)=x3f(x)=x^3 et a=1a=1.

  • Cherchons si la fonction ff est dérivable en 11.
  • Calculons d’abord le taux d’accroissement entre 11 et 1+h1+h (h0h \neq 0):

f(1+h)f(1)h=(1+h)313h=(1+2h+h2)(1+h)1h=1+2h+h2+h+2h2+h31h=h3+3h2+3hh=h2+3h+3\begin{aligned} \dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \ &=h^2+3h+3 \end{aligned}

  • Calculons maintenant la limite de ce taux quand hh tend vers 00 :

limh0h2+3h+3=3\lim\limits_{h \to 0}h^2 +3h+3= 3

  • 33 est un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie.
  • ff est dérivable en 11 et f(1)=3f^{\prime} (1)=3.

Notion de continuité sur un intervalle

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Définition

Continuité d’une fonction sur un intervalle :

ff est une fonction définie sur un intervalle II et aa est un nombre réel de II.

  • ff est continue en aa si et seulement si ff a une limite finie en aa et si cette limite est égale à f(a)f(a) (réel). C’est-à-dire que :

limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)

  • ff est continue sur II si et seulement si ff est continue en tout nombre réel de II.

Regardons les courbes représentatives de deux fonctions.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité

  • La fonction ff est continue en aa.
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Astuce

On peut tracer la courbe représentative de la fonction sans lever le crayon.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité

  • La fonction gg n’est pas continue sur [2 ;3][-2\ ;\,3] car elle n’est pas continue en 11. En effet :

g(1)=1limx1x>1g(x)=1g(1)=1 \neq \lim\limits_{x \to 1 \atop x>1} g(x) =-1

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Astuce

On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

Donnons quelques propriétés de la continuité de fonction.

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Propriété

  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu\times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et si de plus vv est non nulle sur II, alors uv\frac{u}{v} est continue sur II.
  • En particulier, la fonction 1v\frac 1v est continue sur II.

Continuité des fonctions usuelles

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Propriété

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

C’est-à-dire :

  • les fonctions affines sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • la fonction inverse est continue sur ] ;0[] - \infty\ ;\,0[ et sur]0 ;+[ ]0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction exponentielle est continue sur R\mathbb {R}.
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Exemple

Étudions la continuité de la fonction définie par f(x)=(3x22x+1)exf(x) =(3x^2-2x+1)\text{e}^x sur R\mathbb{R}.

La fonction x3x22x+1x\mapsto 3x^2-2x+1 est continue sur R\mathbb {R} (fonction polynôme) et la fonction xexx \mapsto \text{e}^x est continue sur R\mathbb {R}.

  • Or, ff est le produit de ces deux fonctions, donc on peut affirmer que ff est continue sur R\mathbb {R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Nous savons maintenant ce qu’est une fonction continue sur un intervalle.
Dans cette partie, nous allons voir un théorème valable seulement pour une fonction ff continue sur un intervalle.

  • Cela nous permettra de déterminer l’existence (et éventuellement l’unicité) de solutions de l’équation f(x)=kf(x) = k (kk réel) sur cet intervalle.

Théorème concernant les fonctions continues

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Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité théorème valeurs intermédiaires

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À retenir

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d’existence : il affirme l’existence d’au moins une solution pour l’équation f(x)=kf(x)=k.

Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones

  • Un corollaire est un théorème, ou une proposition, qui est une conséquence directe d’un ou d’une autre.
bannière theoreme

Théorème

Corollaire :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

Illustrons ce corollaire pour mieux nous le représenter, avec les courbes représentatives et les tableaux de variations de deux fonctions ff et gg.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité corollaire théorème valeurs intermédiaires

  • La fonction ff est continue et strictement croissante sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • Le réel cc est l’unique solution de l’équation f(x)=kf(x)=k dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • La fonction gg est continue et strictement décroissante sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • Le réel cc est l’unique solution de l’équation g(x)=kg(x)=k dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
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À retenir

Ce corollaire est un théorème d’unicité : il affirme l’existence d’une unique solution pour l’équation f(x)=kf(x) = k, que, souvent, l’on ne peut résoudre facilement par le calcul.

  • On peut, dans ce cas, essayer de donner une valeur approchée de cette solution.

Un exemple

Nous allons maintenant illustrer ce corollaire par un exemple, qui nous permettra de mieux en comprendre les applications.

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb {R} par f(x)=2x33x21f(x) = 2x^3-3x^2-1.

  • Démontrons que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans R\mathbb {R}.
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Astuce

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

  • Commençons par étudier les variations de la fonction ff, afin de voir si elle est strictement monotone.
  • Calculons la dérivée de ff.

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx réel, on a :

f(x)=2×3x23×2x=6x26x=6x(x1)\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \ &=6x^2-6x \ &=6x(x-1) \end{aligned}

  • Nous cherchons maintenant à construire les tableaux de signes et de variations.

Pour cela, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de xx la dérivée s’annule :

f(x)=0{6x=0oux1=0{x=0oux=1\begin{aligned} f^\prime(x) = 0 &\Leftrightarrow \begin{cases}6x=0 \ \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ou}}} \ x-1=0 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \ \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ou}}} \ x=1 \end{cases} \end{aligned}

Calculons les extremums et les limites en l’infini.

f(0)=2×033×021=1f(1)=2×133×121=2limxf(x)=limxx3(23x1x3) [en factorisant par x3 que nous consideˊrons non nul]= [car limxx3= et limx23x1x3=2]limx+f(x)=limx+x3(23x1x3)=+\begin{aligned} f(0)&=2\times 0^3-3\times 0^2-1 \ &=\boxed{-1} \ \ f(1)&=2\times 1^3-3\times 1^2-1 \ &=\boxed{-2} \ \ \lim\limits{x \to -\infty}f(x)&= \lim\limits{x \to -\infty}x^3\left(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right) \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [en factorisant par }x^3\text{ que nous considérons non nul]}}} \ &=\boxed{-\infty} \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\ \left[\text{car } \lim\limits{x \to -\infty}x^3=-\infty \text{ et }\lim\limits{x \to -\infty}2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3}=2\right]}} \ \ \lim\limits{x \to +\infty}f(x)&= \lim\limits{x \to +\infty}x^3\left(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right) \ &=\boxed{+\infty} \end{aligned} Nous avons tous les éléments pour construire le tableau :

Alt mathématiques terminale spécialité continuité

  • Recherchons les solutions de l’équation f(x)=0f(x)=0.

Il apparaît clairement dans le tableau de variations que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle ] ;1]] -\infty\ ;\,1] puisque, sur cet intervalle, la fonction ff ne s’annule pas.

En revanche, sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[, nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution.

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À retenir

  • La fonction ff est continue sur R\mathbb {R} puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme : elle est donc continue sur [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • La fonction ff est strictement croissante sur [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • f(1)=2<0f(1)=-2<0, lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= +\infty et 0]2 ;+[0 \in ]-2\ ;\,+\infty[.
  • D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[, donc finalement sur R\mathbb{R}.

Méthode d’encadrement d’une solution

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Astuce

Pour encadrer une solution, nous allons nous servir de la fonction table de notre calculatrice.

Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

  • Nous cherchons à encadrer la solution à 10210^{-2} près.

Pour ce faire, nous allons opérer par étapes.

  • Entrer l’expression de la fonction dans la calculatrice : 2X33X212 \text{X}^3-3 \text{X}^2-1 .
  • Régler le point de départ de la table.
  • Nous réglons le point de départ sur 11 puisque nous nous intéressons à l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • Régler le pas du tableau.
  • Nous réglons le pas sur 11 , cela signifie qu’il donne toutes les images des nombres entiers (11, 22, 33, 44, etc.).

Nous observons maintenant la table correspondante :

X Y
11 2-2
22 33
33 2626
44 7979

Nous repérons facilement que 2<0<3-2 < 0 < 3 (on choisit toujours un encadrement avec les valeurs les plus proches de kk, qui vaut ici 00).

  • Notre solution est encadrée de la manière suivante : 1<a<21< a <2.

Il ne s’agit que d’un encadrement à l’unité, et non pas à 10210^{-2}.
Nous recommençons donc les étapes 2 et 3.

  • Nous laissons le point de départ sur 11 , puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle [1 ;2][1\ ;\,2], et nous réglons le pas cette fois sur 0,10,1 .

Nous observons la table obtenue :

X Y
1,51,5 1-1
1,61,6 0,488-0,488
1,71,7 0,1560,156
1,81,8 0,9440,944

Ici, nous avons : 0,488<0<0,156-0,488 < 0 < 0,156.

  • Notre solution est désormais encadrée de la manière suivante : 1,6<a<1,71,6 < a < 1,7.

Il s’agit d’un encadrement à 10110^{-1} près.
Nous continuons donc, en reprenant les étapes 2 et 3.

  • Nous réglons alors le point de départ du tableau sur 1,61,6 et le pas sur 0,010,01 .

Nous obtenons finalement :

X Y
1,661,66 0,1182-0,1182
1,671,67 0,0518-0,0518
1,681,68 0,016060,01606
1,691,69 0,085320,08532

Nous repérons : 0,0518<0<0,01606-0,0518 < 0 < 0,01606.

  • Un encadrement de aa à 10210^{-2} est : 1,67<a<1,681,67 < a < 1,68.
  • Une valeur approchée de aa à 10210^{-2} près est donc : a1,68a \approx 1,68.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

Dans cette dernière partie, nous allons étudier un exemple de suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1} = f(un).

  • Grâce à un théorème qui nécessite la continuité de la fonction ff, nous allons pouvoir déterminer la limite de cette suite, si elle existe.

On considère la suite (un)(un) définie par u0=1u0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un+1u{n+1} = \sqrt{u{n}+1}.

Dans le cours sur le raisonnement par récurrence, nous avons montré que, pour tout entier naturel nn :

0<unun+10 < un\leq u{n+1}

Nous avons donc montré que tous les termes de la suite (un)(un) sont strictement positifs et que la suite (un)(un) est croissante.

  • Nous souhaitons déterminer la limite de cette suite (un)(u_n).
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Théorème

Soit (un)(un) une suite de premier terme donné et dont le terme général vérifie un+1=f(un)u{n+1} = f(u_n) pour tout entier naturel nn, où ff est une fonction.

Si (un)(u_n) converge vers ll et si ff est continue en ll, alors f(l)=lf(l) = l.

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Astuce

La limité éventuelle d’une suite (un)(un) dont le terme général vérifie un+1=f(un)u{n+1} = f(u_n) pour tout entier naturel nn, où ff est une fonction continue, est à chercher parmi les solutions de l’équation f(l)=lf(l) = l.
Il faut ensuite démontrer que cette limite existe et que l’on peut appliquer le théorème.

Dans notre exemple, la fonction ff est la fonction définie par f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x+1}, qui est continue sur l’intervalle [1 ;+[[-1\ ;\,+\infty[, donc sur l’intervalle R+\mathbb{R}^{*+} (on s’intéresse à cet intervalle car le premier terme de notre suite est 11 et la suite est croissante).

  • Déterminons la limite éventuelle ll de la suite (un)(u_n) en résolvant l’équation f(l)=lf(l)=l.

f(l)=ll+1=ll+1=l2 [car l>0]l2l1=0\begin{aligned} f(l)=l &\Leftrightarrow \sqrt{l+1} = l \ &\Leftrightarrow l+1 = l^2 \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [car }l > 0]}} \ &\Leftrightarrow l^2 - l - 1 = 0 \end{aligned}

  • l2l1=0l^2 - l - 1 = 0 est une équation du second degré.

Calculons son discriminant :

Δ=(1)24×1×(1)=1+4=5>0\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4\times 1 \times (-1) \ &= 1 + 4 \ &= 5 \ &> 0 \end{aligned}

  • L’équation admet donc deux racines réelles distinctes :
  • l1=152l_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, qui est un nombre négatif, donc qui ne peut pas être limite de cette suite de nombres strictement positifs.
  • l2=1+52l_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, qui est un nombre positif.

ff est continue en l=1+52l = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, donc la seule limite potentielle de la suite (un)(u_n) est :

l=1+52l = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

  • Pour pouvoir conclure, il faut montrer que la suite (un)(u_n) est convergente.

Rappelons le théorème suivant, que nous avons vu dans le cours sur les limites de suites.

bannière theoreme

Théorème

  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • La suite (un)(u_n) étant croissante, montrons qu’elle est majorée pour pouvoir conclure qu’elle converge.

Montrons par récurrence qu’elle est majorée par sa limite éventuelle l=1+52l = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
On note PnPn : « un1+52un \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2} ».

Initialisation

u0=11+52 [car 15]u_0 = 1 \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \footnotesize{\textcolor{#808080}{\ \left[\text{car }1 \leq \sqrt{5}\right]}}

  • P0P_0 est vraie.

Hypothèse de récurrence

Soit kk un entier naturel.
Supposons que PkPk est vraie, c’est-à-dire que uk1+52uk \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Montrons que Pk+1P{k+1} est vraie, c’est-à-dire que uk+11+52u{k+1} \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

uk1+52 [hypotheˋse de reˊcurrence]uk+11+52+1uk+13+52uk+13+52 [car la fonction racine carreˊe est strictement croissante sur R+]uk+13+52 [par deˊfinition de la suite]\begin{aligned} uk &\leq \dfrac{1+\sqrt 5}2 \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [hypothèse de récurrence]}}} \ uk+1 &\leq \dfrac{1+\sqrt 5}2 +1 \ uk+1 &\leq \dfrac{3+\sqrt 5}2 \ \sqrt{uk+1} &\leq\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}2} \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [car la fonction racine carrée est strictement croissante sur }\mathbb R^{*+}]}} \ u_{k+1}&\leq\sqrt{\dfrac{3+\sqrt 5}2} \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [par définition de la suite]}}} \end{aligned}

Il s’agit maintenant de comparer 3+52\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} et 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

  • Comparons leur carré.

(3+52)2=3+52(1+52)2=1+25+54=6+254=3+52(3+52)2=(1+52)2 Donc : 3+52=1+52 [car ils sont tous les deux positifs] Ainsi : uk+11+52\begin{aligned} \left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)^2 &= \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \ \ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 &= \dfrac{1+2\sqrt{5} + 5}{4} \ &=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4} \ &= \frac{3+\sqrt{5}}{2} \ \ \left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)^2 &= \left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^2 \ \ \textcolor{#808080}{\text{ Donc\ : }}\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [car ils sont tous les deux positifs]}}} \ \textcolor{#808080}{\text{ Ainsi\ : }} u_{k+1} &\leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \end{aligned}

  • Pk+1P_{k+1} est vraie.

Conclusion :

Finalement, pour tout entier naturel nn :

un1+52u_n \leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}

  • La suite (un)(u_n) étant croissante et majorée par 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2}, par le théorème précédent, elle converge.
  • D’après ce qui précède, la seule limite possible de la suite (un)(u_n) est :

l=1+52l = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

  • La suite (un)(u_n) converge vers l=1+52l = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Conclusion :

Les derniers cours nous ont permis de découvrir, ou d’approfondir, de nombreuses notions : limites d’une fonction, nouvelles formules de dérivées, fonctions convexes et concaves sur un intervalle et, dans ce cours-ci, la continuité d’une fonction.
Nous avons ainsi tous les éléments pour mener des études de fonction très complètes.