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Continuité des fonctions d’une variable réelle

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Continuité

  • Continuité d’une fonction sur un intervalle : ff est une fonction définie sur un intervalle II et aa est un nombre réel de II.
  • ff est continue en aa si et seulement si ff a une limite finie en aa et si cette limite est égale à f(a)f(a) (réel). C’est-à-dire que : limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)
  • ff est continue sur II si et seulement si ff est continue en tout nombre réel de II.
  • Propriétés de la continuité d’une fonction :
  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu\times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et si de plus vv est non nulle sur II, alors uv\frac{u}{v} est continue sur II.
  • En particulier, la fonction 1v\frac 1v est continue sur II.
  • Continuité des fonctions usuelles :
  • Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. C’est-à-dire :
  • les fonctions affines sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • la fonction inverse est continue sur ] ;0[] - \infty\ ;\,0[ et sur]0 ;+[ ]0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction exponentielle est continue sur R\mathbb {R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

  • Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

Alt mathématiques terminale spécialité continuité théorème valeurs intermédiaires

  • Corollaire :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

  • Méthode de résolution :
  • Étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée.
  • Utiliser le corollaire ou le théorème si les conditions sont réunies.
  • Rechercher ensuite la ou les solution(s).
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Astuce

Pour encadrer une solution, vous pouvez vous servir de la fonction table de votre calculatrice.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

  • Théorème :
  • Soit (un)(un) une suite de premier terme donné et dont le terme général vérifie un+1=f(un)u{n+1} = f(u_n) pour tout entier naturel nn, où ff est une fonction.
  • Si (un)(u_n) converge vers ll et si ff est continue en ll, alors f(l)=lf(l) = l.
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Astuce

La limité éventuelle d’une suite (un)(un) dont le terme général vérifie un+1=f(un)u{n+1} = f(u_n) pour tout entier naturel nn, où ff est une fonction continue, est à chercher parmi les solutions de l’équation f(l)=lf(l) = l.
Il faut ensuite démontrer que cette limite existe et que l’on peut appliquer le théorème.

  • Méthode :
  • Calculer la limite éventuelle en ll de la suite unu_n.
  • Démontrer que la suite est convergente.