Continuité des fonctions d’une variable réelle

Continuité

• Continuité d’une fonction sur un intervalle : $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un nombre réel de $I$.
• $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ a une limite finie en $a$ et si cette limite est égale à $f(a)$ (réel). C’est-à-dire que : $\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)$
• $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout nombre réel de $I$.
• Propriétés de la continuité d’une fonction :
• Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u\times v$ sont continues sur $I$.
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et si de plus $v$ est non nulle sur $I$, alors $\frac{u}{v}$ est continue sur $I$.
• En particulier, la fonction $\frac 1v$ est continue sur $I$.
• Continuité des fonctions usuelles :
• Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. C’est-à-dire :
• les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
• les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
• la fonction inverse est continue sur $] - \infty\ ;\,0[$ et sur$ ]0\ ;\,+\infty[$ ;
• la fonction racine carrée est continue sur $[0\ ;\,+\infty[$ ;
• la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb {R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

• Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

• Corollaire :

Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a\ ;\,b]$.

• Méthode de résolution :
• Étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée.
• Utiliser le corollaire ou le théorème si les conditions sont réunies.
• Rechercher ensuite la ou les solution(s).

Astuce

Pour encadrer une solution, vous pouvez vous servir de la fonction table de votre calculatrice.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

• Théorème :
• Soit $(u_n)$ une suite de premier terme donné et dont le terme général vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f$ est une fonction.
• Si $(u_n)$ converge vers $l$ et si $f$ est continue en $l$, alors $f(l) = l$.

Astuce

La limité éventuelle d’une suite $(u_n)$ dont le terme général vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f$ est une fonction continue, est à chercher parmi les solutions de l’équation $f(l) = l$.
Il faut ensuite démontrer que cette limite existe et que l’on peut appliquer le théorème.

• Méthode :
• Calculer la limite éventuelle en $l$ de la suite $u_n$.
• Démontrer que la suite est convergente.