[IN] Introduction : Ce cours permettra de compléter l’étude de fonction. On abordera le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications. [/IN] ##Langage de la continuité/1 ###Rappel sur la dérivabilité d’une fonction/a. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$. * $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ est le **taux d’accroissement** entre $a$ et $h$.((fleche,0,milieu)) Dire que $f$ est **dérivable** en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, c’est dire que : * $\lim\limits_\{h \to 0\} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$ ((fleche,0,milieu)) $f'(a)$ étant un réel. [AST] **L’étude de la dérivabilité** : * Calcul de la limite quand $h$ tend vers $0$ de $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ ; * Si cette limite est un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$. ((fleche)) * Si cette limite est infinie, on dit que $f$ n’est pas dérivable en $a$.((fleche)) [/AST] [EX] Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^3$ et $a=1$. Cherchons si la fonction $f$ est dérivable en $a$. * Calcul du **taux d’accroissement** entre $1$ et $1+h$ : ((bulle, 1)) $\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \\ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \\ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \\ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \\ &=h^2+3h+3\end{aligned}$ * Calcul de **la limite** de ce taux quand $h$ tend vers $0$ : ((bulle, 2)) $\lim\limits_\{h \to 0\}(h^2 +3h+3)= 3$ * $3$ est bien un **nombre réel**, donc il s’agit d’une **limite** **finie**. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=3$((fleche)) [/EX] ###Notion de continuité sur un intervalle/b. [DEF] **Continuité d’une fonction sur un intervalle :** $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un nombre réel de $I$. * $f$ est **continue** en $a$ si, et seulement si, $f$ a une limite en $a$ égale à $f(a)$ , ainsi : $\lim\limits_\{x \to a\}f(x)= f(a)$ * $f$ est **continue** sur $I$ si, et seulement si, $f$ est continue en tout nombre réel de $I$. [/DEF] [IMG]((50))![fonction continue mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-1.jpg) #[/IMG] [AST] On **peut tracer** la courbe de cette fonction sans lever le crayon. [/AST] [IMG]((50))![courbe de fonction mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-2.jpg) #[/IMG] * Cette fonction n’est pas continue sur $[-2\ ;\ 3]$ car elle n’est pas continue en $1.$((fleche)) En effet : $g(1)=1 \neq \lim\limits_{\stackrel{x \to 1} {x>1}} g(x) =-1$ [AST] On **ne peut pas tracer** la courbe de cette fonction sans lever le crayon. [/AST] [PROP] * Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle. * Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u\times v$ sont continues sur $I$. * Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et non nulles sur $I$, alors $\dfrac{1}{u}$ et $\dfrac{1}{v}$sont continues sur les intervalles où elles sont définies. [/PROP] ###Continuité des fonctions usuelles/c. [PROP] Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont **continues** sur tout intervalle de leur ensemble de leur dérivabilité. C’est-à-dire : * Les **fonctions affines** sont continues sur $\mathbb {R}$ * Les **fonctions polynômes** sont continues sur $\mathbb {R}$ * La **fonction inverse** est continue sur $] - \infty ; 0[ ∪ ]0 ; +\infty[$ * La **fonction racine carrée** est continue sur $]0 ; +\infty[$ * La **fonction valeur absolue** est continue sur $\mathbb {R}$ * La **fonction exponentielle** est continue sur $\mathbb {R}$. [/PROP] [EX] Étudions la continuité de la fonction $f(x) =(3x^2-2x+1)e^x$. La fonction $3x^2-2x+1$ est continue sur $\mathbb {R}$ et la fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb {R}$. Or $f(x)$ est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que $f$ est continue sur $\mathbb {R}$. [/EX] ##Théorème des valeurs intermédiaires/2 ###Théorème concernant les fonctions continues/a. [THEO] **Théorème des valeurs intermédiaires :** Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a; b ]$ ; alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$. [/THEO] [IMG]((60))![continuité de fonctions mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-3.jpg) #[/IMG] * Le théorème des valeurs intermédiaires est un **théorème d’existence** : il **affirme l’existence d’au moins une solution à l’équation** $f(x)=k$.((fleche)) ###Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones/b. * Un corollaire est un **théorème** qui est une **conséquence** d’un **autre théorème**.((fleche)) [THEO] **Corrolaire** : Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b ]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a; b ].$ [/THEO] [IMG]![continuité de fonctions mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-4.jpg) #[/IMG] **À gauche** : cas d’une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$. **À droite** : cas d’une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$. * Ce corollaire est un **théorème d’unicité** : il affirme l’existence d’**une unique solution à une équation** que l’on ne peut pas résoudre par le calcul.((fleche)) ###Illustration par un exemple /c. [EX] Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x) = 2x^3-3x^2-1$. Démontrons que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans $\mathbb {R}$. [ATT] L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. [/ATT] * Étude des variations de la fonction $f$ pour voir si elle est bien strictement monotone : ((bulle, 1)) * Calcul de la dérivée de $f$ :((fleche)) $$\begin{aligned}f'(x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \\&=6x^2-6x\\&=6x(x-1)\end{aligned}$$ * Tableaux de signe et de variations : Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la dérivée s’annule : $6x=0 \Leftrightarrow x=0$ et $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$ [IMG]((75))![tableau de signe et de variations mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-5.png) #[/IMG] **Calculs des extremums** : $f(0)=2\times 0^3-3\times 0^2-1=-1$ $f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2$ $\lim\limits_\{x \to -\infty\}f(x)= \lim\limits_\{x \to -\infty\}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty$ $\lim\limits_\{x \to +\infty\}f(x)= \lim\limits_\{x \to +\infty\}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty$ * Vérification que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution : ((bulle, 2)) Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle $] -\infty\ ; 1]$ puisque sur cet intervalle la fonction $f$ est strictement négative (son maximum étant $-1$). Par contre sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution : [/EX] [RETENIR] * La fonction $f$est continue sur $\mathbb {R}$ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur $[1\ ; +\infty[$ ; * La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\ ; +\infty[$ ; * $f(1)=-2<0$ et $\lim\limits_\{x \to +\infty\}f(x)= +\infty >0$ donc $0 \in ]-2;+\infty[$ D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$. [/RETENIR] ###Méthode d’encadrement d’une solution/d. [ATT] Nous allons utiliser le tableur de la calculatrice. [/ATT] Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans l’intervalle $[1\ ; +\infty[$. [EX] Encadrer la solution à $10^{-2}$ près. * **Rentrer** l’expression de la fonction dans la calculatrice ; ((fleche)) * **Régler** le tableur correspondant : ((fleche)) * Régler **le point de départ** : ((bulle, 1)) Nous règlons le point de départ sur $1$ puisque nous nous intéressons à l’intervalle $[1\ ; +\infty[$. * Régler **le pas du tableau** : ((bulle, 2)) Nous règlons le pas sur $1$, cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers ($1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; etc.) * **Observer** le tableur correspondant : ((fleche)) [IMG]((50))![tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-6.png) #[/IMG] On repère assez facilement que $-2 < 0 < 3$ donc notre solution est encadrée de la manière suivante : $1< a <2$. Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à $10^{-2}$. Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 : Nous règlons le point de départ sur $1$, puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle $[1\ ; 2]$, avec un pas de $0,1$. * **Observer** le nouveau tableur :((fleche)) [IMG]((50))![tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-7.png) #[/IMG] On a $-0,488 < 0 < 0,156$ donc $1,6 < a < 1,7$. Il s’agit d’un encadrement à $10^{-1}$ près. On règle alors le point de départ du tableau sur $1,6$ avec un pas de $0,01$. On obtient : [IMG]((50))![](https://images.schoolmouv.fr/maths-terminale-cours-5-8.png) #[/IMG] On a $-0,0518 < 0 < 0,01606$ donc $1,67 < a < 1,68$ ou $a \approx 1,68$ pour la valeur approchée à $10^{-2}$. [/EX]