Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Continuité d'une fonction sur un intervalle
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde les vidéos suivantes
Introduction :
Ce cours permettra de compléter l’étude de fonction. On abordera le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.
Langage de la continuité
Rappel sur la dérivabilité d’une fonction
Soit une fonction définie sur un intervalle contenant .
Dire que est dérivable en de nombre dérivé , c’est dire que :
étant un réel.
L’étude de la dérivabilité :
Soit la fonction définie sur l’intervalle par et . Cherchons si la fonction est dérivable en .
Notion de continuité sur un intervalle
Continuité d’une fonction sur un intervalle :
est une fonction définie sur un intervalle et est un nombre réel de .
On peut tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.
En effet :
On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.
Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de leur dérivabilité.
C’est-à-dire :
Étudions la continuité de la fonction .
La fonction est continue sur et la fonction est continue sur .
Or est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que est continue sur .
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème concernant les fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction est définie et continue sur un intervalle ; alors, pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que .
Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones
Corrolaire :
Si une fonction est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle alors, pour tout réel compris entre et , l’équation a une unique solution dans l’intervalle
À gauche : cas d’une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle . Le réel est l’unique solution de l’équation dans l’intervalle .
À droite : cas d’une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle . Le réel est l’unique solution de l’équation dans l’intervalle .
Illustration par un exemple
Soit la fonction définie sur par : .
Démontrons que l’équation admet une unique solution dans .
L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de la dérivée s’annule :
et
Calculs des extremums :
Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle puisque sur cet intervalle la fonction est strictement négative (son maximum étant ).
Par contre sur l’intervalle nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation admet une unique solution :
La fonction est continue sur puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur ;
La fonction est strictement croissante sur ;
et donc
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution sur l’intervalle .
Méthode d’encadrement d’une solution
Nous allons utiliser le tableur de la calculatrice.
Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle .
Encadrer la solution à près.
Nous règlons le point de départ sur puisque nous nous intéressons à l’intervalle .
Nous règlons le pas sur , cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers ( ; ; ; ; etc.)
On repère assez facilement que donc notre solution est encadrée de la manière suivante : .
Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à .
Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 :
Nous règlons le point de départ sur , puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle , avec un pas de .
On a donc . Il s’agit d’un encadrement à près.
On règle alors le point de départ du tableau sur avec un pas de .
On obtient :
On a donc ou pour la valeur approchée à .