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Continuité d'une fonction sur un intervalle

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Introduction :

Ce cours permettra de compléter l’étude de fonction. On abordera le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.

Langage de la continuité

Rappel sur la dérivabilité d’une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.

  • $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ est le taux d’accroissement entre $a$ et $h$.

Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, c’est dire que :

  • $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$

$f'(a)$ étant un réel.

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Astuce

L’étude de la dérivabilité :

  • Calcul de la limite quand $h$ tend vers $0$ de $\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h} $ ;
  • Si cette limite est un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$.
  • Si cette limite est infinie, on dit que $f$ n’est pas dérivable en $a$.
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Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^3$ et $a=1$. Cherchons si la fonction $f$ est dérivable en $a$.

  • Calcul du taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ :

$\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \\ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \\ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \\ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \\ &=h^2+3h+3\end{aligned}$

  • Calcul de la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ :

$\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3$

  • $3$ est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=3$

Notion de continuité sur un intervalle

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Définition

Continuité d’une fonction sur un intervalle :

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un nombre réel de $I$.

  • $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, $f$ a une limite en $a$ égale à $f(a)$ , ainsi : $\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)$
  • $f$ est continue sur $I$ si, et seulement si, $f$ est continue en tout nombre réel de $I$.

fonction continue mathématiques terminale ES L

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Astuce

On peut tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

courbe de fonction mathématiques terminale ES L

  • Cette fonction n’est pas continue sur $[-2\ ;\ 3]$ car elle n’est pas continue en $1.$

En effet : $g(1)=1 \neq \lim\limits_{\stackrel{x \to 1} {x>1}} g(x) =-1$

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Astuce

On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

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Propriété

  • Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u\times v$ sont continues sur $I$.
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et non nulles sur $I$, alors $\dfrac{1}{u}$ et $\dfrac{1}{v}$sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

Continuité des fonctions usuelles

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Propriété

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de leur dérivabilité.

C’est-à-dire :

  • Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb {R}$
  • Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb {R}$
  • La fonction inverse est continue sur $] - \infty ; 0[ ∪ ]0 ; +\infty[$
  • La fonction racine carrée est continue sur $]0 ; +\infty[$
  • La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb {R}$
  • La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb {R}$.
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Exemple

Étudions la continuité de la fonction $f(x) =(3x^2-2x+1)e^x$.

La fonction $3x^2-2x+1$ est continue sur $\mathbb {R}$ et la fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb {R}$.

Or $f(x)$ est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que $f$ est continue sur $\mathbb {R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème concernant les fonctions continues

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Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a; b ]$ ; alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

  • Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d’existence : il affirme l’existence d’au moins une solution à l’équation $f(x)=k$.

Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones

  • Un corollaire est un théorème qui est une conséquence d’un autre théorème.
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Théorème

Corrolaire :

Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b ]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a; b ].$

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

À gauche : cas d’une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$.

À droite : cas d’une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle $[a; b ]$. Le réel $c$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=k$ dans l’intervalle $[a; b ]$.

  • Ce corollaire est un théorème d’unicité : il affirme l’existence d’une unique solution à une équation que l’on ne peut pas résoudre par le calcul.

Illustration par un exemple

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Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x) = 2x^3-3x^2-1$.

Démontrons que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans $\mathbb {R}$.

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Attention

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

  • Étude des variations de la fonction $f$ pour voir si elle est bien strictement monotone :
  • Calcul de la dérivée de $f$ :

$$\begin{aligned}f'(x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \\&=6x^2-6x\\&=6x(x-1)\end{aligned}$$

  • Tableaux de signe et de variations :

Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la dérivée s’annule :

$6x=0 \Leftrightarrow x=0$

et

$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$

tableau de signe et de variations mathématiques terminale ES L

Calculs des extremums :

$f(0)=2\times 0^3-3\times 0^2-1=-1$

$f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)= \lim\limits_{x \to -\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty$

  • Vérification que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution :

Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle $] -\infty\ ; 1]$ puisque sur cet intervalle la fonction $f$ est strictement négative (son maximum étant $-1$).

Par contre sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution :

bannière à retenir

À retenir

  • La fonction $f$est continue sur $\mathbb {R}$ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur $[1\ ; +\infty[$ ;

  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\ ; +\infty[$ ;

  • $f(1)=-2<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= +\infty >0$ donc $0 \in ]-2;+\infty[$

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.

Méthode d’encadrement d’une solution

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Attention

Nous allons utiliser le tableur de la calculatrice.

Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.

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Exemple

Encadrer la solution à $10^{-2}$ près.

  • Rentrer l’expression de la fonction dans la calculatrice ;
  • Régler le tableur correspondant :
  • Régler le point de départ :

Nous règlons le point de départ sur $1$ puisque nous nous intéressons à l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.

  • Régler le pas du tableau :

Nous règlons le pas sur $1$, cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers ($1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; etc.)

  • Observer le tableur correspondant :

tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L

On repère assez facilement que $-2 < 0 < 3$ donc notre solution est encadrée de la manière suivante : $1< a <2$.

Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à $10^{-2}$.

Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 :

Nous règlons le point de départ sur $1$, puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle $[1\ ; 2]$, avec un pas de $0,1$.

  • Observer le nouveau tableur :

tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L

On a $-0,488 < 0 < 0,156$ donc $1,6 < a < 1,7$. Il s’agit d’un encadrement à $10^{-1}$ près.
On règle alors le point de départ du tableau sur $1,6$ avec un pas de $0,01$.

On obtient :

On a $-0,0518 < 0 < 0,01606$ donc $1,67 < a < 1,68$ ou $a \approx 1,68$ pour la valeur approchée à $10^{-2}$.