Cours : Continuité d'une fonction sur un intervalle

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^3$ et $a=1$. Cherchons si la fonction $f$ est dérivable en $a$.

• Calcul du taux d’accroissement entre $1$ et $1+h$ :

$\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \ &=h^2+3h+3\end{aligned}$

• Calcul de la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ :

$\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3$

• $3$ est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=3$

Étudions la continuité de la fonction $f(x) =(3x^2-2x+1)e^x$.

La fonction $3x^2-2x+1$ est continue sur $\mathbb {R}$ et la fonction $e^x$ est continue sur $\mathbb {R}$.

Or $f(x)$ est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que $f$ est continue sur $\mathbb {R}$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par : $f(x) = 2x^3-3x^2-1$.

Démontrons que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $a$ dans $\mathbb {R}$.

Attention

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

• Étude des variations de la fonction $f$ pour voir si elle est bien strictement monotone :
• Calcul de la dérivée de $f$ :

$\begin{aligned}f'(x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \&=6x^2-6x\&=6x(x-1)\end{aligned}$

• Tableaux de signe et de variations :

Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la dérivée s’annule :

$6x=0 \Leftrightarrow x=0$

et

$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$

Calculs des extremums :

$f(0)=2\times 0^3-3\times 0^2-1=-1$

$f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2$

$\lim\limits${x \to -\infty}f(x)= \lim\limits{x \to -\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty

$\lim\limits${x \to +\infty}f(x)= \lim\limits{x \to +\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty

• Vérification que l’équation $f(x)=0$ n’admet qu’une seule solution :

Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle $] -\infty\ ; 1]$ puisque sur cet intervalle la fonction $f$ est strictement négative (son maximum étant $-1$).

Par contre sur l’intervalle $[1\ ; +\infty[$ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution :

Encadrer la solution à $10^{-2}$ près.

• Rentrer l’expression de la fonction dans la calculatrice ;
• Régler le tableur correspondant :
• Régler le point de départ :

Nous règlons le point de départ sur $1$ puisque nous nous intéressons à l’intervalle $[1\ ; +\infty[$.

• Régler le pas du tableau :

Nous règlons le pas sur $1$, cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers ($1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; etc.)

• Observer le tableur correspondant :

On repère assez facilement que $-2 < 0 < 3$ donc notre solution est encadrée de la manière suivante : $1< a <2$.

Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à $10^{-2}$.

Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 :

Nous règlons le point de départ sur $1$, puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle $[1\ ; 2]$, avec un pas de $0,1$.

• Observer le nouveau tableur :

On a $-0,488 < 0 < 0,156$ donc $1,6 < a < 1,7$. Il s’agit d’un encadrement à $10^{-1}$ près.
On règle alors le point de départ du tableau sur $1,6$ avec un pas de $0,01$.

On obtient :

On a $-0,0518 < 0 < 0,01606$ donc $1,67 < a < 1,68$ ou $a \approx 1,68$ pour la valeur approchée à $10^{-2}$.