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Continuité d'une fonction sur un intervalle

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Introduction :

Ce cours permettra de compléter l’étude de fonction. On abordera le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.

Langage de la continuité

Rappel sur la dérivabilité d’une fonction

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II contenant aa.

Dire que ff est dérivable en aa de nombre dérivé f(a)f'(a), c’est dire que :

  • lim{h0}f(a+h)f(a)h=f(a)\lim\limits_{h \to 0} \dfrac {f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)

f(a)f'(a) étant un réel.

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Astuce

L’étude de la dérivabilité :

  • Calcul de la limite quand hh tend vers 00 de f(a+h)f(a)h\dfrac {f(a+h)-f(a)} {h}  ;
  • Si cette limite est un nombre réel, on dit que ff est dérivable en aa.
  • Si cette limite est infinie, on dit que ff n’est pas dérivable en aa.
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Exemple

Soit ff la fonction définie sur l’intervalle R\mathbb {R} par f(x)=x3f(x)=x^3 et a=1a=1. Cherchons si la fonction ff est dérivable en aa.

  • Calcul du taux d’accroissement entre 11 et 1+h1+h :

f(1+h)f(1)h=(1+h)313h=(1+2h+h2)(1+h)1h=1+2h+h2+h+2h2+h31h=h3+3h2+3hh=h2+3h+3\begin{aligned}\dfrac {f(1+h)-f(1)}{h}&=\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h} \ &=\dfrac{(1+2h+h^2)(1+h)-1}{h} \ &=\dfrac{1+2h+h^2+h+2h^2+h^3-1}{h} \ &=\dfrac {h^3+3h^2+3h}{h} \ &=h^2+3h+3\end{aligned}

  • Calcul de la limite de ce taux quand hh tend vers 00 :

lim{h0}(h2+3h+3)=3\lim\limits_{h \to 0}(h^2 +3h+3)= 3

  • 33 est bien un nombre réel, donc il s’agit d’une limite finie. ff est dérivable en 11 et f(1)=3f'(1)=3

Notion de continuité sur un intervalle

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Définition

Continuité d’une fonction sur un intervalle :

ff est une fonction définie sur un intervalle II et aa est un nombre réel de II.

  • ff est continue en aa si, et seulement si, ff a une limite en aa égale à f(a)f(a) , ainsi : lim{xa}f(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)
  • ff est continue sur II si, et seulement si, ff est continue en tout nombre réel de II.

fonction continue mathématiques terminale ES L

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Astuce

On peut tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

courbe de fonction mathématiques terminale ES L

  • Cette fonction n’est pas continue sur [2 ; 3][-2\ ;\ 3] car elle n’est pas continue en 1.1.

En effet : g(1)=1limx>1x1g(x)=1g(1)=1 \neq \lim\limits_{\stackrel{x \to 1} {x>1}} g(x) =-1

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Astuce

On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

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Propriété

  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu\times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et non nulles sur II, alors 1u\dfrac{1}{u} et 1v\dfrac{1}{v}sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

Continuité des fonctions usuelles

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Propriété

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de leur dérivabilité.

C’est-à-dire :

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Exemple

Étudions la continuité de la fonction f(x)=(3x22x+1)exf(x) =(3x^2-2x+1)e^x.

La fonction 3x22x+13x^2-2x+1 est continue sur R\mathbb {R} et la fonction exe^x est continue sur R\mathbb {R}.

Or f(x)f(x) est le produit de ces deux fonctions, on peut donc dire que ff est continue sur R\mathbb {R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème concernant les fonctions continues

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Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a;b][a; b ] ; alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

  • Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d’existence : il affirme l’existence d’au moins une solution à l’équation f(x)=kf(x)=k.

Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones

  • Un corollaire est un théorème qui est une conséquence d’un autre théorème.
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Théorème

Corrolaire :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b][a; b ] alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a;b].[a; b ].

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

À gauche : cas d’une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle [a;b][a; b ]. Le réel cc est l’unique solution de l’équation f(x)=kf(x)=k dans l’intervalle [a;b][a; b ].

À droite : cas d’une fonction continue et strictement décroissante sur un intervalle [a;b][a; b ]. Le réel cc est l’unique solution de l’équation f(x)=kf(x)=k dans l’intervalle [a;b][a; b ].

  • Ce corollaire est un théorème d’unicité : il affirme l’existence d’une unique solution à une équation que l’on ne peut pas résoudre par le calcul.

Illustration par un exemple

bannière exemple

Exemple

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb {R} par : f(x)=2x33x21f(x) = 2x^3-3x^2-1.

Démontrons que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans R\mathbb {R}.

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Attention

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

  • Étude des variations de la fonction ff pour voir si elle est bien strictement monotone :
  • Calcul de la dérivée de ff :

f(x)=2×3x23×2x=6x26x=6x(x1)\begin{aligned}f'(x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \&=6x^2-6x\&=6x(x-1)\end{aligned}

  • Tableaux de signe et de variations :

Pour réaliser ces tableaux, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de xx la dérivée s’annule :

6x=0x=06x=0 \Leftrightarrow x=0

et

x1=0x=1x-1=0 \Leftrightarrow x=1

tableau de signe et de variations mathématiques terminale ES L

Calculs des extremums :

f(0)=2×033×021=1f(0)=2\times 0^3-3\times 0^2-1=-1

f(1)=2×133×121=2f(1)=2\times 1^3-3\times 1^2-1=-2

lim{x}f(x)=lim{x}x3(23x1x3)=\lim\limits{x \to -\infty}f(x)= \lim\limits{x \to -\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=-\infty

lim{x+}f(x)=lim{x+}x3(23x1x3)=+\lim\limits{x \to +\infty}f(x)= \lim\limits{x \to +\infty}x^3(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3})=+\infty

  • Vérification que l’équation f(x)=0f(x)=0 n’admet qu’une seule solution :

Il apparaît clairement dans le tableau de variation que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle ] ;1]] -\infty\ ; 1] puisque sur cet intervalle la fonction ff est strictement négative (son maximum étant 1-1).

Par contre sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[ nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution :

bannière à retenir

À retenir

  • La fonction ffest continue sur R\mathbb {R} puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme ; elle est donc continue sur [1 ;+[[1\ ; +\infty[ ;

  • La fonction ff est strictement croissante sur [1 ;+[[1\ ; +\infty[ ;

  • f(1)=2<0f(1)=-2<0 et lim{x+}f(x)=+>0\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= +\infty >0 donc 0]2;+[0 \in ]-2;+\infty[

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

Méthode d’encadrement d’une solution

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Attention

Nous allons utiliser le tableur de la calculatrice.

Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

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Exemple

Encadrer la solution à 10210^{-2} près.

  • Rentrer l’expression de la fonction dans la calculatrice ;
  • Régler le tableur correspondant :
  • Régler le point de départ :

Nous règlons le point de départ sur 11 puisque nous nous intéressons à l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

  • Régler le pas du tableau :

Nous règlons le pas sur 11, cela signifie qu’il toutes les images des nombres entiers (11 ; 22 ; 33 ; 44 ; etc.)

  • Observer le tableur correspondant :

tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L

On repère assez facilement que 2<0<3-2 < 0 < 3 donc notre solution est encadrée de la manière suivante : 1<a<21< a <2.

Il s’agit pour le moment d’un encadrement à l’unité, et non pas à 10210^{-2}.

Nous recommençons donc les étapes 1 et 2 :

Nous règlons le point de départ sur 11, puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle [1 ;2][1\ ; 2], avec un pas de 0,10,1.

  • Observer le nouveau tableur :

tableur continuité de fonction mathématiques terminale ES L

On a 0,488<0<0,156-0,488 < 0 < 0,156 donc 1,6<a<1,71,6 < a < 1,7. Il s’agit d’un encadrement à 10110^{-1} près.
On règle alors le point de départ du tableau sur 1,61,6 avec un pas de 0,010,01.

On obtient :

On a 0,0518<0<0,01606-0,0518 < 0 < 0,01606 donc 1,67<a<1,681,67 < a < 1,68 ou a1,68a \approx 1,68 pour la valeur approchée à 10210^{-2}.